Abitur-Training: Analysis
Der Buckel im Graphen
AFB I · ReproduzierenGegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 6 \cdot x^2 + 9 \cdot x$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$.
- Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
- Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunktes und des Tiefpunktes.
- Weisen Sie nach, dass der Graph genau einen Wendepunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an.
- Geben Sie das Intervall an, in dem $f$ monoton fallend ist.
Zwei Tangenten, ein Anstieg
AFB II · Zusammenhänge herstellenAn den Graphen von $f$ mit $f(x) = x^3 - 6 \cdot x^2 + 9 \cdot x$ lassen sich Paare von Tangenten legen, die parallel zueinander verlaufen. Die Abbildung zeigt ein solches Paar mit den Berührpunkten $P$ und $Q$.
- Zeigen Sie, dass die Tangenten in $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$ parallel verlaufen, und geben Sie ihren Anstieg an.
- Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt $P$.
- Begründen Sie mithilfe von $f'$, dass für jedes solche Paar von Berührstellen $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = 2$ gilt.
- Beurteilen Sie die Aussage: „Zu jedem Anstieg $m$ gibt es genau zwei parallele Tangenten an den Graphen von $f$.“
Koffein im Blut
AFB III · Reflektieren und BeurteilenNach dem Trinken eines Energydrinks lässt sich die Koffeinkonzentration im Blut für $0 \leq t \leq 8$ modellhaft durch die Funktion $c$ mit $c(t) = 40 \cdot t \cdot e^{-0{,}5 \cdot t}$ beschreiben. Dabei ist $t$ die seit dem Trinken vergangene Zeit in Stunden und $c(t)$ die Konzentration in Milligramm je Liter.
- Geben Sie die Konzentration eine Stunde nach dem Trinken an.
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am größten ist, und den zugehörigen Wert.
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt, und geben Sie diese Abnahme an.
- Beurteilen Sie die Aussage: „Nach acht Stunden ist das Koffein vollständig abgebaut.“
Lösungen
1 · Der Buckel im Graphen
a) Ausklammern statt Formel: $f(x) = x \cdot (x^2 - 6x + 9) = x \cdot (x-3)^2$. Also $x_1 = 0$ und $x_2 = 3$, wobei $x_2$ eine doppelte Nullstelle ist — der Graph berührt dort die $x$-Achse.
b) $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3 \cdot (x-1) \cdot (x-3)$, also $x = 1$ oder $x = 3$. Mit $f''(x) = 6x - 12$ ist $f''(1) = -6 < 0$ und $f''(3) = 6 > 0$. Damit Hochpunkt $H(1 \mid 4)$ und Tiefpunkt $T(3 \mid 0)$.
c) $f''(x) = 6x - 12 = 0$ liefert genau die Stelle $x = 2$; wegen $f'''(x) = 6 \neq 0$ liegt dort ein Vorzeichenwechsel von $f''$ vor. Eine lineare Funktion hat höchstens eine Nullstelle, also gibt es keinen weiteren Wendepunkt: $W(2 \mid 2)$.
d) Zwischen den beiden Extremstellen ist $f'(x) < 0$, also fällt $f$ monoton für $1 \leq x \leq 3$.
Bei $x = 3$ liegen Nullstelle und Tiefpunkt aufeinander. Das ist kein Zufall, sondern der Grund für die doppelte Nullstelle: Der Graph berührt die Achse, statt sie zu schneiden.
2 · Zwei Tangenten, ein Anstieg
a) $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$, damit $f'(0) = 9$ und $f'(4) = 48 - 48 + 9 = 9$. Gleicher Anstieg bedeutet parallele Tangenten, der Anstieg ist $m = 9$.
b) $f(0) = 0$, der Berührpunkt ist $P(0 \mid 0)$. Mit $m = 9$ und dem Punkt $(0 \mid 0)$ folgt $y = 9 \cdot x$.
c) Zwei Berührstellen mit demselben Anstieg $m$ sind die Lösungen von $3x^2 - 12x + 9 = m$, also von $x^2 - 4x + \dfrac{9-m}{3} = 0$. Nach dem Satz von Vieta ist $x_1 + x_2 = 4$ und damit der Mittelwert $2$ — unabhängig von $m$. Das ist genau die Wendestelle: Der Graph von $f'$ ist eine Parabel mit dem Scheitel bei $x = 2$, und jede waagerechte Gerade schneidet sie symmetrisch dazu.
d) Die Aussage ist falsch. Aus $x^2 - 4x + \dfrac{9-m}{3} = 0$ folgt $x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{1 + \dfrac{m}{3}}$. Zwei verschiedene Berührstellen gibt es nur für $m > -3$; für $m = -3$ fallen beide in der Wendestelle $x = 2$ zusammen, für $m < -3$ gibt es gar keine. $m = -3$ ist der kleinstmögliche Anstieg.
Der Nachweis in Teil c) verlangt keine Zahlenrechnung. Wer die Berührstellen für ein festes $m$ ausrechnet, hat nur ein Beispiel gezeigt — gefragt ist die Begründung für alle Paare.
3 · Koffein im Blut
a) $c(1) = 40 \cdot e^{-0{,}5} \approx 24{,}3$. Eine Stunde nach dem Trinken liegt die Konzentration bei etwa $24{,}3$ mg/l.
b) Mit der Produktregel ist $c'(t) = 40 \cdot e^{-0{,}5t} \cdot \left(1 - 0{,}5 \cdot t\right)$. Der Faktor $e^{-0{,}5t}$ ist nie null, also $c'(t) = 0$ genau für $t = 2$. Davor ist $c' > 0$, danach $c' < 0$ — ein Maximum. $c(2) = 80 \cdot e^{-1} \approx 29{,}4$: nach 2 Stunden rund $29{,}4$ mg/l.
c) Am stärksten abnehmend heißt: $c'$ hat ein Minimum, gesucht ist die Wendestelle. $c''(t) = 40 \cdot e^{-0{,}5t} \cdot \left(0{,}25 \cdot t - 1\right) = 0$ für $t = 4$, mit Vorzeichenwechsel. Dort ist $c'(4) = -40 \cdot e^{-2} \approx -5{,}4$. Nach 4 Stunden sinkt die Konzentration am schnellsten, um etwa $5{,}4$ mg/l je Stunde.
d) Die Aussage ist falsch. Es ist $c(8) = 320 \cdot e^{-4} \approx 5{,}9$ mg/l, also noch deutlich mehr als nichts. Grundsätzlicher: $e^{-0{,}5t} > 0$ für jedes $t$, also wird $c(t)$ für $t > 0$ nie null — im Modell ist das Koffein zu keinem Zeitpunkt vollständig abgebaut, es nähert sich der Wert nur der Null an.
„Am stärksten abnehmend“ ist nicht der Tiefpunkt von $c$, sondern der Wendepunkt. Gefragt ist das Minimum der Änderungsrate $c'$, also $c'' = 0$.