Doc Alvers Mathe-Labor

Abitur-Training: Analytische Geometrie — Leistungskurs

Berufliches Gymnasium · Leistungskurs · Pflichtaufgabe · drei Aufgaben, Anforderungsbereiche I bis III

Das Wohnhaus mit Walmdach

AFB I · Reproduzieren

Ein Wohnhaus mit Walmdach wird modellhaft durch den Körper mit den Eckpunkten $A(0 \mid 0 \mid 0)$, $B(6 \mid 0 \mid 0)$, $C(6 \mid 10 \mid 0)$, $D(0 \mid 10 \mid 0)$, $E(0 \mid 0 \mid 4)$, $F(6 \mid 0 \mid 4)$, $G(6 \mid 10 \mid 4)$ und $H$ beschrieben. Das Rechteck $ABCD$ ist die Grundfläche, das Rechteck $EFGH$ die Traufebene. Die Firstlinie verbindet $P(3 \mid 3 \mid 6)$ mit $Q(3 \mid 7 \mid 6)$. Die $x$-$y$-Ebene ist der waagerechte Baugrund, eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

Das Wohnhaus im Koordinatensystem. Nur die Ecke A liegt verdeckt; ihre Kanten und die verdeckte Traufkante sind gestrichelt.

Ergänzen Sie die Koordinaten des fehlenden Eckpunktes $H$ und geben Sie die Länge der Firstlinie $\overline{PQ}$ an.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Wandfläche $BCGF$ ein Rechteck ist, und berechnen Sie ihren Flächeninhalt.
Weisen Sie nach, dass die Dachfläche $FGQP$ ein gleichschenkliges Trapez, aber kein Parallelogramm ist.
Berechnen Sie mithilfe des Kreuzprodukts den Flächeninhalt der Dachfläche $FGQP$ und den des Walmdreiecks $EFP$. Geben Sie damit die gesamte Dachfläche an.

Ebene, Raumdiagonale und Kompaktheit

AFB II · Zusammenhänge herstellen

Betrachtet wird weiterhin das Wohnhaus aus Aufgabe 1. Die Punkte $B$, $D$ und $E$ legen eine Ebene $\sigma$ fest, die in der Ecke bei $A$ ein Stück des Baukörpers abschneidet. Die Strecke von $A$ nach $G$ ist die Raumdiagonale des quaderförmigen Wohnteils $ABCDEFGH$.

Die Ebene durch B, D und E schneidet die Ecke bei A ab. Der Schnittpunkt S liegt auf der roten Raumdiagonale von A nach G.

Weisen Sie nach, dass $\sigma: 10x + 6y + 15z = 60$ eine Gleichung der Ebene durch $B$, $D$ und $E$ ist.
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Raumdiagonale $\overline{AG}$ die Ebene $\sigma$ schneidet.
Die Ebene $\sigma$ schneidet die Raumdiagonale $\overline{AG}$ im Punkt $S$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $S$ und das Verhältnis, in dem $S$ die Strecke $\overline{AG}$ teilt.
Berechnen Sie das Volumen des Wohnhauses und vergleichen Sie sein Verhältnis von Oberfläche zu Volumen mit dem eines Flachdachbaus gleicher Grundfläche und gleichen Volumens. Zur Oberfläche zählen Bodenplatte, Wände und Dachflächen.

Die Ebenenschar am First

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Die Firstlinie liegt auf der Geraden $g$ durch $P(3 \mid 3 \mid 6)$ und $Q(3 \mid 7 \mid 6)$. Für jede reelle Zahl $t$ ist durch $E_t: t \cdot x + z = 3t + 6$ eine Ebene gegeben.

Schnitt senkrecht zur Firstlinie. Jede Ebene der Schar erscheint als Gerade durch den Firstpunkt; die gestrichelte Senkrechte gehört zu keinem t.

Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ in jeder Ebene $E_t$ liegt.
Geben Sie an, welche Eckpunkte des Hauses in der Ebene $E_{2/3}$ liegen, und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Dachebenen $E_{-2/3}$ und $E_{2/3}$ und geben Sie an, wie groß der Öffnungswinkel des Daches am First ist.
Beurteilen Sie die Aussage: „Jede Ebene, die die Firstgerade $g$ enthält, lässt sich in der Form $E_t$ schreiben.“

Lösungen

1 · Das Wohnhaus mit Walmdach

a) $H$ liegt senkrecht über $D$ auf Traufhöhe. Aus $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$ folgt $H(0 \mid 10 \mid 4)$. Für die Firstlinie ist $\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$, also $\overline{PQ} = 4$ m.

b) $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{FG} = \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}$ sind gleich, $BCGF$ ist also ein Parallelogramm. Mit $\overrightarrow{BF} = \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$ ist $\overrightarrow{BC} \circ \overrightarrow{BF} = 0 + 0 + 0 = 0$, benachbarte Seiten stehen also senkrecht aufeinander. Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck; sein Flächeninhalt beträgt $10 \cdot 4 = 40$ m².

c) Es ist $\overrightarrow{FG} = \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix} = 0{,}4 \cdot \overrightarrow{FG}$: die beiden Seiten sind parallel, aber verschieden lang — ein Trapez und kein Parallelogramm. Für die Schenkel gilt $\overrightarrow{FP} = \begin{pmatrix}-3\\3\\2\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{GQ} = \begin{pmatrix}-3\\-3\\2\end{pmatrix}$ mit $\left|\overrightarrow{FP}\right| = \left|\overrightarrow{GQ}\right| = \sqrt{9+9+4} = \sqrt{22}$. Das Trapez ist also gleichschenklig.

d) Zerlegung in die Dreiecke $FGQ$ und $FQP$ mit $\overrightarrow{FQ} = \begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}$: $\overrightarrow{FG} \times \overrightarrow{FQ} = \begin{pmatrix}20\\0\\30\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{FQ} \times \overrightarrow{FP} = \begin{pmatrix}8\\0\\12\end{pmatrix}$, also $A_{FGQP} = \tfrac12\sqrt{1300} + \tfrac12\sqrt{208} = 5\sqrt{13} + 2\sqrt{13} = 7\sqrt{13} \approx 25{,}2$ m². Für das Walmdreieck ist $\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EP} = \begin{pmatrix}0\\-12\\18\end{pmatrix}$ und damit $A_{EFP} = \tfrac12\sqrt{468} = 3\sqrt{13} \approx 10{,}8$ m². Beide Formen kommen doppelt vor: $A_{\text{Dach}} = 2 \cdot 7\sqrt{13} + 2 \cdot 3\sqrt{13} = 20\sqrt{13} \approx 72{,}1$ m².

Die Höhe des Trapezes ist nicht die Schenkellänge $\sqrt{22} \approx 4{,}69$. Senkrecht zur Firstlinie gemessen ist die Dachbreite nur $\sqrt{13} \approx 3{,}61$ — wer mit $\sqrt{22}$ rechnet, erhält $32{,}8$ m² statt $25{,}2$ m² und macht das Dach um fast ein Drittel zu groß.

2 · Ebene, Raumdiagonale und Kompaktheit

a) Mit $\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix}-6\\10\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{BE} = \begin{pmatrix}-6\\0\\4\end{pmatrix}$ ist $\vec{n} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BE} = \begin{pmatrix}40\\24\\60\end{pmatrix}$, gekürzt $\begin{pmatrix}10\\6\\15\end{pmatrix}$ — das sind die Koeffizienten der Gleichung. Einsetzen der drei Punkte: $B$: $10 \cdot 6 = 60$, $D$: $6 \cdot 10 = 60$, $E$: $15 \cdot 4 = 60$. Alle drei erfüllen die Gleichung, und da sie nicht auf einer Geraden liegen, ist $\sigma$ genau diese Ebene.

b) Die Gerade durch $A$ und $G$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = \overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix}6\\10\\4\end{pmatrix}$ mit $\left|\vec{u}\right| = \sqrt{36+100+16} = \sqrt{152} = 2\sqrt{38}$; weiter ist $\left|\vec{n}\right| = \sqrt{100+36+225} = \sqrt{361} = 19$ und $\vec{n} \circ \vec{u} = 60 + 60 + 60 = 180$. Für den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene gilt $\sin \alpha = \dfrac{\left|\vec{n} \circ \vec{u}\right|}{\left|\vec{n}\right| \cdot \left|\vec{u}\right|} = \dfrac{180}{19 \cdot 2\sqrt{38}} = \dfrac{90}{19\sqrt{38}} \approx 0{,}7684$, also $\alpha \approx 50{,}2^\circ$.

c) Die Gerade $AG$ lautet $\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix}6\\10\\4\end{pmatrix}$. Einsetzen in $\sigma$: $60t + 60t + 60t = 180t = 60$, also $t = \tfrac13$ und $S\left(2 \mid \tfrac{10}{3} \mid \tfrac43\right)$. Wegen $t = \tfrac13$ ist $\overline{AS} : \overline{SG} = \tfrac13 : \tfrac23$, das Teilungsverhältnis ist also $1 : 2$. Elegant sieht man das so: Da $ABCDEFGH$ ein Quader mit $A$ im Ursprung ist, gilt $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE}$, und $S$ mit $\overrightarrow{OS} = \tfrac13\left(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE}\right)$ ist gerade der Schwerpunkt des Dreiecks $BDE$.

d) Der Wohnteil ist ein Quader: $V_1 = 6 \cdot 10 \cdot 4 = 240$ m³. Das Walmdach zerfällt in ein Prisma über der Firstlänge $4$ — Querschnitt ist ein Dreieck mit Grundseite $6$ und Höhe $2$, also $6$ m² — und zwei Pyramiden mit der Grundfläche $6 \cdot 3 = 18$ und der Höhe $2$: $V_2 = 6 \cdot 4 + 2 \cdot \tfrac13 \cdot 18 \cdot 2 = 24 + 24 = 48$ m³. Zusammen $V = 288$ m³. Zur Oberfläche tragen bei: Bodenplatte $60$ m², Wände $2 \cdot (6+10) \cdot 4 = 128$ m² und Dach $20\sqrt{13} \approx 72{,}1$ m² — zusammen $A \approx 260{,}1$ m², also $\dfrac{A}{V} \approx 0{,}90\ \text{m}^{-1}$. Der Flachdachbau hat die Höhe $h = \dfrac{288}{60} = 4{,}8$ m und damit $A = 2 \cdot 60 + 32 \cdot 4{,}8 = 273{,}6$ m², also $\dfrac{A}{V} = 0{,}95\ \text{m}^{-1}$. Obwohl das geneigte Dach zusätzliche Fläche kostet, ist das Walmdachhaus die kompaktere Bauform: es braucht rund $5\ \%$ weniger Hüllfläche je Kubikmeter.

Zu d): Beide Bauformen im Querschnitt. Der Flachdachbau muss für dasselbe Volumen 0,8 m höhere Wände bekommen — das kostet mehr Hüllfläche, als das geneigte Dach kostet.

Beim Winkel zwischen Gerade und Ebene steht der Sinus, nicht der Kosinus. Wer $\cos\alpha = 0{,}7684$ setzt, erhält $39{,}8^\circ$ — das ist der Winkel zwischen Gerade und Normale. Beide ergänzen sich zu $90^\circ$.

3 · Die Ebenenschar am First

a) Eine Gleichung von $g$ ist $\vec{x} = \begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$, $r \in \mathbb{R}$; ein beliebiger Punkt von $g$ hat also die Koordinaten $(3 \mid 3+r \mid 6)$. Einsetzen in $E_t$ liefert $t \cdot 3 + 6 = 3t + 6$ — eine wahre Aussage, und zwar unabhängig von $r$ und von $t$. Der Grund: In der Gleichung von $E_t$ kommt $y$ nicht vor, und auf $g$ sind $x = 3$ und $z = 6$ konstant. Damit liegt $g$ in jeder Ebene der Schar.

b) $E_{2/3}: \tfrac23 x + z = 8$, mit $3$ multipliziert $2x + 3z = 24$. Einsetzen: $F(6 \mid 0 \mid 4)$: $12 + 12 = 24$, $G(6 \mid 10 \mid 4)$: $24$, $P$: $6 + 18 = 24$, $Q$: $24$ — diese vier liegen in der Ebene. Für die übrigen Punkte kommt heraus: $A$ und $D$: $0$; $B$, $C$, $E$ und $H$: $12$. Die vier Punkte $F$, $G$, $Q$, $P$ sind genau die Ecken der großen Dachfläche aus Aufgabe 1: $E_{2/3}$ ist die Ebene dieser Dachfläche. Entsprechend gehört $t = -\tfrac23$ zur gegenüberliegenden Dachfläche $EHQP$.

c) Aus $E_{-2/3}: -2x + 3z = 12$ und $E_{2/3}: 2x + 3z = 24$ liest man die Normalenvektoren $\vec{n_1} = \begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$ und $\vec{n_2} = \begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}$ ab. Es folgt $\cos \varphi = \dfrac{\left|\vec{n_1} \circ \vec{n_2}\right|}{\left|\vec{n_1}\right| \cdot \left|\vec{n_2}\right|} = \dfrac{\left|-4+9\right|}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}3846$, also $\varphi \approx 67{,}4^\circ$. Der Öffnungswinkel des Daches am First ist der Nebenwinkel dazu: $180^\circ - 67{,}4^\circ \approx 112{,}6^\circ$.

d) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel ist die Ebene $x = 3$: wegen $x_P = x_Q = 3$ enthält sie die ganze Gerade $g$. In jeder Gleichung $t \cdot x + z = 3t + 6$ hat $z$ jedoch den Koeffizienten $1$, und auch nach Multiplikation mit einem $\lambda \neq 0$ bleibt dieser Koeffizient von null verschieden — in $x = 3$ kommt $z$ überhaupt nicht vor. Die Schar erfasst also alle Ebenen durch $g$ bis auf diese eine; für $t \to \pm\infty$ nähern sich die Ebenen $E_t$ ihr nur an. Richtig wäre: Jede Ebene durch $g$, die nicht senkrecht zur $x$-$y$-Ebene steht, gehört zur Schar.

Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist stets der spitze Winkel, hier $67{,}4^\circ$. Wer ihn als Dachöffnung angibt, verwechselt ihn mit seinem Nebenwinkel $112{,}6^\circ$ — ein First mit $67^\circ$ gehörte zu einem deutlich steileren Dach als dem gezeichneten.