Doc Alvers Mathe-Labor

Abitur-Training: Analytische Geometrie

Berufliches Gymnasium · Wahlpflicht 1 · Pflichtaufgabe 2 · drei Aufgaben, Anforderungsbereiche I bis III

Das Gerätehaus

AFB I · Reproduzieren

Ein Gerätehaus mit Pultdach wird modellhaft durch den Körper $ABCDEFGH$ mit $A(0 \mid 0 \mid 0)$, $B(6 \mid 0 \mid 0)$, $C(6 \mid 4 \mid 0)$, $D(0 \mid 4 \mid 0)$, $E(0 \mid 0 \mid 3)$, $F(6 \mid 0 \mid 3)$, $G(6 \mid 4 \mid 2)$ und $H(0 \mid 4 \mid 2)$ beschrieben. Das Viereck $EFGH$ ist die Dachfläche, die $x$-$y$-Ebene der waagerechte Untergrund. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

Das Gerätehaus im Koordinatensystem. Die verdeckten Kanten sind gestrichelt.

Geben Sie die Längen der Kanten $\overline{AB}$ und $\overline{AE}$ an.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Dachfläche $EFGH$ ein Rechteck ist.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dachfläche.
Bestimmen Sie das Volumen des Gerätehauses.

Ebene und Neigung

AFB II · Zusammenhänge herstellen

Betrachtet wird weiterhin das Gerätehaus aus Aufgabe 1. Die Dachfläche $EFGH$ liegt in einer Ebene $\varepsilon$.

Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, auf der die Kante $\overline{EH}$ liegt.
Weisen Sie nach, dass $\varepsilon: y + 4 \cdot z = 12$ eine Gleichung dieser Ebene ist.
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das Dach gegen den waagerechten Untergrund geneigt ist.
Berechnen Sie den Abstand des Punktes $C$ von der Ebene $\varepsilon$.

Schatten am Nachmittag

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Am Nachmittag fällt das Sonnenlicht in Richtung des Vektors $\vec{s} = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$ auf das Gerätehaus. Das Dach $EFGH$ wirft dabei einen Schatten $E'F'G'H'$ auf den waagerechten Untergrund.

Die vier Sonnenstrahlen durch die Dachecken und der Schatten, den sie auf dem Untergrund erzeugen.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes $F'$ von $F(6 \mid 0 \mid 3)$.
Die weiteren Schattenpunkte sind $E'(2 \mid 1 \mid 0)$, $G'\left(\tfrac{22}{3} \mid \tfrac{14}{3} \mid 0\right)$ und $H'\left(\tfrac{4}{3} \mid \tfrac{14}{3} \mid 0\right)$. Weisen Sie nach, dass $E'F'G'H'$ ein Parallelogramm ist.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Schattens.
Beurteilen Sie die Aussage: „Der Schatten eines Daches ist stets größer als das Dach selbst.“

Lösungen

1 · Das Gerätehaus

a) $\overline{AB}$ verläuft parallel zur $x$-Achse: $\overline{AB} = 6$ m. $\overline{AE}$ verläuft parallel zur $z$-Achse: $\overline{AE} = 3$ m.

b) $\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{HG} = \begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$ — die Vektoren sind gleich, also ist $EFGH$ ein Parallelogramm. Mit $\overrightarrow{EH} = \begin{pmatrix}0\\4\\-1\end{pmatrix}$ ist $\overrightarrow{EF} \circ \overrightarrow{EH} = 0 + 0 + 0 = 0$, die benachbarten Seiten stehen also senkrecht aufeinander. Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck.

c) Die Seitenlängen sind $\left|\overrightarrow{EF}\right| = 6$ und $\left|\overrightarrow{EH}\right| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$. Damit $A_{\text{Dach}} = 6 \cdot \sqrt{17} \approx 24{,}7$ m².

d) Jeder Schnitt senkrecht zur $x$-Achse ist dasselbe Trapez mit den parallelen Seiten $3$ (vorn) und $2$ (hinten) und der Höhe $4$: $A_{\text{Trapez}} = \dfrac{3+2}{2} \cdot 4 = 10$. Der Körper ist ein Prisma der Länge $6$, also $V = 10 \cdot 6 = 60$ m³.

Die Dachfläche ist nicht $6 \cdot 4 = 24$. Das Dach ist geneigt, seine Breite ist die Strecke von $E$ nach $H$ — also $\sqrt{17} \approx 4{,}12$ und nicht $4$.

2 · Ebene und Neigung

a) Mit dem Stützvektor $\overrightarrow{OE}$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{EH}$: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\4\\-1\end{pmatrix}$, $r \in \mathbb{R}$.

b) Ein Normalenvektor ist $\vec{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EH} = \begin{pmatrix}0\\6\\24\end{pmatrix}$, gekürzt $\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix}$ — das sind die Koeffizienten der Gleichung. Einsetzen aller vier Eckpunkte: $E: 0 + 12 = 12$, $F: 0 + 12 = 12$, $G: 4 + 8 = 12$, $H: 4 + 8 = 12$. Alle vier erfüllen die Gleichung.

c) Der Untergrund hat den Normalenvektor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. Für den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt $\cos \alpha = \dfrac{\left|\vec{n_1} \circ \vec{n_2}\right|}{\left|\vec{n_1}\right| \cdot \left|\vec{n_2}\right|} = \dfrac{4}{\sqrt{17}} \approx 0{,}970$, also $\alpha \approx 14{,}0^\circ$.

d) Hesse'sche Normalenform: $d = \dfrac{\left|4 + 4 \cdot 0 - 12\right|}{\sqrt{17}} = \dfrac{8}{\sqrt{17}} \approx 1{,}94$ m.

In Teil d) ist der senkrechte Abstand gefragt, nicht die Höhe der Wand. Senkrecht über $C$ liegt $G$ in $2$ m Höhe — der Abstand zur geneigten Ebene ist mit $1{,}94$ m kleiner. Wer $2$ hinschreibt, hat die Neigung vergessen.

3 · Schatten am Nachmittag

a) Der Lichtstrahl durch $F$ ist $\vec{x} = \begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$. Auf dem Untergrund ist $z = 0$: $3 - 3t = 0$, also $t = 1$. Einsetzen liefert $F'(8 \mid 1 \mid 0)$.

b) $\overrightarrow{E'F'} = \begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{H'G'} = \begin{pmatrix}\tfrac{22}{3} - \tfrac{4}{3}\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$. Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang, also ist $E'F'G'H'$ ein Parallelogramm.

c) Mit $\overrightarrow{E'H'} = \begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\ \tfrac{11}{3}\\0\end{pmatrix}$ ist $A = \left|\overrightarrow{E'F'} \times \overrightarrow{E'H'}\right| = \left|\begin{pmatrix}0\\0\\22\end{pmatrix}\right| = 22$. Der Schatten ist $22$ m² groß.

d) Die Aussage ist falsch. Hier ist der Schatten mit $22$ m² kleiner als die Dachfläche mit $6\sqrt{17} \approx 24{,}7$ m². Der Grund: Die Sonne steht so, dass das Dach schräg getroffen wird — projiziert wird nur der Anteil senkrecht zur Strahlrichtung. Erst wenn die Strahlen fast parallel zur Dachfläche einfallen, wird der Schatten sehr groß.

Zu d): Aufsicht auf den Untergrund. Der Schatten (grau) ist gegenüber dem Grundriss des Daches (orange) verschoben und geschert — sein Flächeninhalt muss deshalb nicht größer sein.

$\vec{s}$ zeigt von der Sonne weg, also nach unten ($z$-Komponente negativ). Wer $\vec{s}$ als Richtung zur Sonne liest, rechnet mit $t < 0$ und landet hinter dem Haus.