Abitur-Training: Lineare Algebra
Vom Rohstoff zum Endprodukt
AFB I · ReproduzierenEin Betrieb stellt aus den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ zunächst die Zwischenprodukte $Z_1$ und $Z_2$ her und daraus die Endprodukte $E_1$ und $E_2$. Der Bedarf in Mengeneinheiten (ME) steht im Verflechtungsdiagramm.
- Geben Sie die Matrizen $M_{RZ}$ und $M_{ZE}$ an.
- Berechnen Sie die Gesamtproduktionsmatrix $M_{RE}$.
- Der Betrieb plant $20$ Stück von $E_1$ und $30$ Stück von $E_2$. Bestimmen Sie den Bedarf an Zwischenprodukten und an Rohstoffen.
- Beschreiben Sie die Bedeutung des Elements $re_{22}$ von $M_{RE}$ im Sachzusammenhang.
Was der Betrieb verdient
AFB II · Zusammenhänge herstellenDie Rohstoffe kosten $4$, $2$ und $6$ Euro je ME. Die Fertigung der Zwischenprodukte kostet $12$ Euro ($Z_1$) beziehungsweise $18$ Euro ($Z_2$) je ME, die der Endprodukte $25$ Euro ($E_1$) beziehungsweise $40$ Euro ($E_2$) je Stück. Verkauft werden $E_1$ für $180$ Euro und $E_2$ für $260$ Euro. Die Fixkosten betragen $2\,500$ Euro.
- Bestimmen Sie den Vektor $\vec{k}_v$ der variablen Kosten je Stück.
- Berechnen Sie den Deckungsbeitrag je Stück für beide Endprodukte.
- Bestimmen Sie den Gewinn bei der Produktion von $20$ Stück $E_1$ und $30$ Stück $E_2$.
- Beurteilen Sie: „$E_2$ bringt je Stück den höheren Deckungsbeitrag, also sollte der Betrieb nur noch $E_2$ herstellen.“
Das Lager geht nicht auf
AFB III · Reflektieren und BeurteilenIm Lager liegen $250$ ME von $R_1$, $700$ ME von $R_2$ und $300$ ME von $R_3$. Die Produktion soll so geplant werden, dass alle drei Bestände vollständig aufgebraucht werden. Gesucht sind die Stückzahlen $x$ von $E_1$ und $y$ von $E_2$.
- Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
- Zeigen Sie, dass dieses Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
- Bestimmen Sie, welche Menge von $R_3$ im Lager liegen müsste, damit der Plan aufgeht, und geben Sie die zugehörigen Stückzahlen an.
- Beurteilen Sie die Aussage: „Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten hat nie eine Lösung.“
Lösungen
1 · Vom Rohstoff zum Endprodukt
a) Spalten sind die Zwischen- bzw. Endprodukte, Zeilen die Rohstoffe bzw. Zwischenprodukte: $M_{RZ} = \begin{pmatrix}2 & 1\\3 & 4\\1 & 2\end{pmatrix}$ und $M_{ZE} = \begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{pmatrix}$.
b) $M_{RE} = M_{RZ} \cdot M_{ZE} = \begin{pmatrix}2 & 1\\3 & 4\\1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 5\\10 & 15\\4 & 7\end{pmatrix}$. Zeile 1 zum Beispiel: $2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 5$ und $2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5$.
c) Mit $\vec{p} = \begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$ ist $\vec{z} = M_{ZE} \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix}70\\110\end{pmatrix}$ und $\vec{r} = M_{RE} \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix}250\\650\\290\end{pmatrix}$. Probe über den Umweg: $M_{RZ} \cdot \vec{z}$ ergibt denselben Vektor.
d) Das Element hat den Wert $15$: Für eine Mengeneinheit des Endprodukts $E_2$ werden insgesamt $15$ ME des Rohstoffs $R_2$ gebraucht — über beide Produktionsschritte zusammen.
Die Reihenfolge im Produkt ist nicht beliebig: $M_{RZ} \cdot M_{ZE}$ ist definiert (Spaltenzahl $2$ trifft Zeilenzahl $2$), $M_{ZE} \cdot M_{RZ}$ dagegen nicht. Wer die Faktoren vertauscht, merkt es an den Formaten.
2 · Was der Betrieb verdient
a) $\vec{k}_v = \vec{k}_R \cdot M_{RE} + \vec{k}_Z \cdot M_{ZE} + \vec{k}_E$ (alle drei als Zeilenvektoren). $\vec{k}_R \cdot M_{RE} = (4\;\;2\;\;6) \cdot \begin{pmatrix}5 & 5\\10 & 15\\4 & 7\end{pmatrix} = (64\;\;92)$, $\vec{k}_Z \cdot M_{ZE} = (12\;\;18) \cdot \begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{pmatrix} = (42\;\;66)$. Zusammen mit $\vec{k}_E = (25\;\;40)$: $\vec{k}_v = (131\;\;198)$ Euro je Stück.
b) $\vec{d} = \vec{v} - \vec{k}_v = (180\;\;260) - (131\;\;198) = (49\;\;62)$. $E_1$ trägt $49$ Euro bei, $E_2$ trägt $62$ Euro bei.
c) $D = \vec{d} \cdot \vec{p} = 49 \cdot 20 + 62 \cdot 30 = 980 + 1\,860 = 2\,840$ Euro Deckungsbeitrag. Abzüglich der Fixkosten: $G = 2\,840 - 2\,500 = 340$ Euro Gewinn.
d) So einfach ist es nicht. Der Deckungsbeitrag je Stück sagt nichts darüber, wie viele Stücke sich verkaufen lassen und welche Rohstoffe dafür reichen. $E_2$ verbraucht je Stück deutlich mehr $R_2$ ($15$ statt $10$ ME) — bei knappem $R_2$ ist der Deckungsbeitrag je ME des Engpassrohstoffs entscheidend, und der ist bei $E_1$ mit $\tfrac{49}{10} = 4{,}9$ höher als bei $E_2$ mit $\tfrac{62}{15} \approx 4{,}13$.
Die Rohstoffkosten dürfen nicht über $M_{RZ}$ allein laufen. Gebraucht wird $M_{RE}$, sonst fehlt der zweite Produktionsschritt.
3 · Das Lager geht nicht auf
a) $M_{RE} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}250\\700\\300\end{pmatrix}$, ausgeschrieben $5x + 5y = 250$, $\;10x + 15y = 700$, $\;4x + 7y = 300$.
b) Aus der ersten Gleichung folgt $x + y = 50$, aus der zweiten $2x + 3y = 140$. Einsetzen von $x = 50 - y$ liefert $100 + y = 140$, also $y = 40$ und $x = 10$. Die dritte Gleichung ist damit aber nicht erfüllt: $4 \cdot 10 + 7 \cdot 40 = 320 \neq 300$. Das System ist überbestimmt und widersprüchlich — es gibt keine Lösung.
c) Nötig wären $320$ ME von $R_3$. Dann ist $x = 10$ und $y = 40$ die Lösung aller drei Gleichungen. Mit dem tatsächlichen Bestand von $300$ ME fehlen also $20$ ME von $R_3$.
d) Die Aussage ist falsch. Mehr Gleichungen als Unbekannte heißt nur, dass das System überbestimmt ist; ob es lösbar ist, hängt davon ab, ob die zusätzlichen Gleichungen zum Rest passen. Genau das zeigt Teil c): mit $300$ auf der rechten Seite gibt es keine Lösung, mit $320$ gibt es genau eine.
Wer nur zwei der drei Gleichungen löst, bekommt $x = 10$ und $y = 40$ und hält das für die Antwort. Bei einem überbestimmten System gehört die Probe in der übrigen Gleichung zur Lösung dazu.