Doc Alvers Mathe-Labor

Abitur-Training: Modellieren — Steckbrief und Übergang ohne Knick

Berufliches Gymnasium · Pflichtaufgabe 1 · Grund- und Leistungskurs · drei Aufgaben, Anforderungsbereiche I bis III

Gesucht per Steckbrief

AFB I · Reproduzieren

Von einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$ ist bekannt: Der Graph verläuft durch den Punkt $P(0 \mid 1)$, er besitzt im Punkt $T(4 \mid -3)$ eine waagerechte Tangente, und an der Stelle $x = 2$ liegt ein Wendepunkt. Die Abbildung zeigt den Graphen mit diesen Angaben.

Der Graph von f mit dem Punkt P, der waagerechten Tangente in T und der Wendestelle x = 2.

Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für $a$, $b$, $c$ und $d$ auf.
Lösen Sie das Gleichungssystem und geben Sie den Funktionsterm an.
Führen Sie die Probe durch und entscheiden Sie, ob in $T$ ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und eine Gleichung der Wendetangente.

Die Achterbahn ohne Knick

AFB II · Zusammenhänge herstellen

Der erste Abfall einer Achterbahn wird für $0 \leq x \leq 26$ durch ein Profil aus drei Abschnitten beschrieben. Dabei ist $x$ die waagerechte Entfernung von der Kuppe und $h(x)$ die Höhe der Fahrbahn über dem Boden, beides in Metern. Für $0 \leq x \leq 10$ verläuft die Bahn geradlinig nach $g(x) = 20 - x$. Für $10 \leq x \leq 20$ folgt ein Übergangsbogen mit $p(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$. Ab $x = 20$ schließt sich die waagerechte Bremsstrecke in $5$ m Höhe an.

Das Profil aus drei Abschnitten mit den Nahtstellen N1 und N2.

Stellen Sie die drei Bedingungen auf, die den knickfreien Anschluss an die Gerade bei $x = 10$ und den waagerechten Anschluss bei $x = 20$ sichern, und berechnen Sie damit $a$, $b$ und $c$.
Weisen Sie nach, dass der Übergangsbogen bei $x = 20$ genau die Höhe der Bremsstrecke erreicht.
Berechnen Sie den Neigungswinkel der geraden Abfahrt gegen die Waagerechte und begründen Sie, dass die Bahn nirgends steiler fällt.
Bestimmen Sie die Stelle, an der das Gefälle der Bahn noch $10\,\%$ beträgt.

Was der Ableitungsgraph verrät

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Betrachtet wird dieselbe Achterbahn wie in Aufgabe 2, also $h(x) = 20 - x$ für $0 \leq x \leq 10$, dann $h(x) = 0{,}05 \cdot x^2 - 2 \cdot x + 25$ für $10 \leq x \leq 20$ und schließlich $h(x) = 5$ für $20 \leq x \leq 26$. Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung $h'$.

Der Graph von h′: konstant −1, dann linear wachsend, dann null. Die Sprungfreiheit dieses Graphen ist die Knickfreiheit der Bahn.

Beschreiben Sie anhand des Graphen von $h'$, wie sich die Steilheit der Bahn längs der Strecke ändert, und geben Sie an, wo die Bahn am steilsten fällt.
Unter der Bahn soll ein waagerechter Wartungsweg auf Bodenhöhe hindurchführen. Die Fahrbahnkonstruktion ist $0{,}60$ m dick, darunter werden $4{,}50$ m lichte Höhe gebraucht. Untersuchen Sie, bis zu welcher Stelle das möglich ist.
Beurteilen Sie, ob das Modell am linken Rand des Definitionsbereichs sinnvoll an die Bergfahrt anschließt, die die Wagen waagerecht über die Kuppe führt.
Beurteilen Sie die Aussage: „Weil der Graph von $h'$ nirgends springt, verläuft die Bahn überall gleich sanft — an den Nahtstellen ist nichts zu spüren.“

Lösungen

1 · Gesucht per Steckbrief

a) Aus $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$ folgt $f'(x) = 3a \cdot x^2 + 2b \cdot x + c$ sowie $f''(x) = 6a \cdot x + 2b$. Die vier Angaben liefern vier Gleichungen: aus $f(0) = 1$ wird $d = 1$, aus $f(4) = -3$ wird $64a + 16b + 4c + d = -3$, aus $f'(4) = 0$ wird $48a + 8b + c = 0$, und aus $f''(2) = 0$ wird $12a + 2b = 0$.

b) Die vierte Gleichung gibt $b = -6a$. Damit wird die dritte zu $48a - 48a + c = 0$, also $c = 0$. Mit $d = 1$ bleibt von der zweiten Gleichung $64a - 96a + 1 = -3$, also $-32a = -4$ und $a = \frac{1}{8}$. Rückwärts folgt $b = -\frac{3}{4}$. Der gesuchte Funktionsterm lautet damit $f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^3 - \frac{3}{4} \cdot x^2 + 1$, in Dezimalschreibweise $f(x) = 0{,}125 \cdot x^3 - 0{,}75 \cdot x^2 + 1$.

c) Probe: Es ist $f(0) = 1$, der Punkt $P$ liegt also auf dem Graphen. Weiter ist $f(4) = 8 - 12 + 1 = -3$, damit stimmt auch $T$. Aus $f'(x) = \frac{3}{8} \cdot x^2 - \frac{3}{2} \cdot x = \frac{3}{8} \cdot x \cdot (x - 4)$ folgt $f'(4) = 0$, die Tangente in $T$ ist also waagerecht, und aus $f''(x) = \frac{3}{4} \cdot x - \frac{3}{2}$ folgt $f''(2) = 0$. Wegen $f''(4) = \frac{3}{2} > 0$ ist $T$ ein Tiefpunkt. Nebenbei fällt auf: Auch $f'(0) = 0$, und wegen $f''(0) = -\frac{3}{2} < 0$ ist der gegebene Punkt $P$ der Hochpunkt $H(0 \mid 1)$.

d) Die Wendestelle ist $x = 2$; dort gilt $f(2) = 1 - 3 + 1 = -1$, also $W(2 \mid -1)$. Der Anstieg der Wendetangente ist $f'(2) = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}$. Aus $y = -\frac{3}{2} \cdot (x - 2) - 1$ folgt die Gleichung $y = -1{,}5 \cdot x + 2$.

Der fertige Graph: Hochpunkt H, Tiefpunkt T und der Wendepunkt W mit seiner Wendetangente (orange).

„Wendepunkt an der Stelle $x = 2$“ liefert genau eine Gleichung, nämlich $f''(2) = 0$. Die zugehörige $y$-Koordinate ist nicht gegeben und darf nicht erfunden werden — wer daraus zwei Gleichungen macht, überbestimmt das System und rechnet sich in einen Widerspruch.

2 · Die Achterbahn ohne Knick

a) Knickfrei heißt an einer Nahtstelle: gleicher Funktionswert und gleicher Anstieg. Mit $g(10) = 10$ und $g'(x) = -1$ sind das die Bedingungen $p(10) = 10$ sowie $p'(10) = -1$; die Bremsstrecke ist waagerecht, also gilt außerdem $p'(20) = 0$. Mit $p'(x) = 2a \cdot x + b$ lautet das System $100a + 10b + c = 10$, $20a + b = -1$, $40a + b = 0$. Die Differenz der beiden letzten Gleichungen ergibt $20a = 1$, also $a = 0{,}05$, daraus $b = -2$ und aus der ersten Gleichung $c = 10 - 5 + 20 = 25$. Der Bogen lautet damit $p(x) = 0{,}05 \cdot x^2 - 2 \cdot x + 25$.

b) Es ist $p(20) = 0{,}05 \cdot 400 - 40 + 25 = 20 - 40 + 25 = 5$. Der Bogen endet also genau auf $5$ m, der Höhe der Bremsstrecke — der Übergang erfolgt ohne Stufe. Zusammen mit $p'(20) = 0$ geht die Bahn dort auch ohne Knick in die Waagerechte über.

c) Für die Gerade ist der Anstieg $m = -1$, also $\tan(\alpha) = 1$ und $\alpha = 45^\circ$; das entspricht $100\,\%$ Gefälle. Auf dem Bogen ist $p'(x) = 0{,}1 \cdot x - 2$ streng monoton wachsend, mit $p'(10) = -1$ und $p'(20) = 0$ gilt dort $-1 \leq p'(x) \leq 0$. Auf der Bremsstrecke ist der Anstieg $0$. Nirgends ist der Betrag des Anstiegs größer als $1$, die Bahn fällt also nirgends steiler als auf der geraden Abfahrt.

d) Ein Gefälle von $10\,\%$ bedeutet den Anstieg $-0{,}1$. Auf der Geraden ist der Anstieg konstant $-1$, auf der Bremsstrecke $0$ — die Stelle liegt also auf dem Bogen. Aus $0{,}1 \cdot x - 2 = -0{,}1$ folgt $x = 19$. Dort ist die Fahrbahn noch $p(19) = 18{,}05 - 38 + 25 = 5{,}05$ Meter hoch.

Zu a): Lupe an der Nahtstelle N1. Die Parabel löst sich tangential von der Geraden — beide haben dort dieselbe Tangente, also keinen Knick.

Knickfrei ist eine Bedingung an die Ableitung, stufenfrei eine an den Funktionswert. An jeder Nahtstelle sind das zwei Gleichungen, nicht eine: Wer nur die Höhen angleicht, baut eine Bahn mit Knick; wer nur die Anstiege angleicht, eine mit Stufe.

3 · Was der Ableitungsgraph verrät

a) Auf $[0; 10]$ ist $h'$ konstant $-1$: gleichmäßiges Gefälle, und weil der Betrag des Anstiegs hier am größten ist, fällt die Bahn auf diesem ganzen Abschnitt am steilsten, nämlich unter $45^\circ$. Auf $[10; 20]$ wächst $h'$ linear von $-1$ auf $0$; das Gefälle nimmt gleichmäßig ab, die Bahn wird also immer flacher. Auf $[20; 26]$ ist $h' = 0$, die Bahn verläuft waagerecht. Der Graph von $h'$ hat keine Sprungstelle — genau das ist die Knickfreiheit aus Aufgabe 2.

b) Gebraucht wird eine Fahrbahnhöhe von $4{,}50 + 0{,}60 = 5{,}10$ Metern, also $h(x) \geq 5{,}10$. Auf der Bremsstrecke ist $h(x) = 5$ und damit zu wenig. Auf dem Bogen führt $0{,}05 \cdot x^2 - 2 \cdot x + 25 = 5{,}10$ auf $x^2 - 40 \cdot x + 398 = 0$ mit $x_{1,2} = 20 \pm \sqrt{2}$; im Intervall liegt $x = 20 - \sqrt{2} \approx 18{,}59$. Da $h$ monoton fällt, gilt $h(x) \geq 5{,}10$ genau für $x \leq 18{,}59$. Der Weg passt also nur bis etwa $18{,}6$ Meter hindurch; unter der Bremsstrecke fehlen 10 Zentimeter.

c) Am linken Rand hat das Modell den Anstieg $h'(0) = -1$, die Bergfahrt über die Kuppe dagegen den Anstieg $0$. An der Stelle $x = 0$ träfen also zwei Abschnitte mit verschiedenen Anstiegen aufeinander — genau der Knick, den das Modell im Inneren so sorgfältig vermeidet. Als Beschreibung der Kuppe taugt es deshalb nicht; sinnvoll wird es erst, wenn vor $x = 0$ ein weiterer Übergangsbogen eingefügt wird. Am rechten Rand ist es harmloser: Dort endet die Bremsstrecke, das Modell macht über $x = 26$ hinaus einfach keine Aussage mehr.

d) Die Aussage ist falsch. Dass $h'$ stetig ist, sichert nur, dass die Bahn keinen Knick hat. Die zweite Ableitung springt jedoch: Auf der Geraden ist $h'' = 0$, auf dem Bogen $h'' = 0{,}1$ und auf der Bremsstrecke wieder $h'' = 0$. Mit der Krümmung springt auch die Beschleunigung, die die Fahrgäste in die Sitze drückt — an beiden Nahtstellen unvermittelt von null auf einen festen Wert. Das ist als Ruck deutlich spürbar. Im Straßen- und Bahnbau nimmt man deshalb Übergangsbögen mit stetig wachsender Krümmung, etwa Klothoiden, statt einer Parabel.

Zu b): Ab etwa x = 18,6 Metern liegt die Fahrbahn unter den gebrauchten 5,10 Metern; die Bremsstrecke bleibt 10 Zentimeter darunter.

Knickfrei ist nicht ruckfrei. Der Anschluss ohne Knick macht nur $h'$ stetig; ruckfrei wäre der Übergang erst, wenn auch $h''$ stetig ist. Am Graphen von $h'$ sieht man es sofort: Er ist an den Nahtstellen selbst geknickt.