Doc Alvers Mathe-Labor

Abitur-Training: Prüfungssimulation Teil B

Berufliches Gymnasium · Grundkurs · Teil B der schriftlichen Abiturprüfung · drei Pflichtaufgaben, 25 + 15 + 15 Bewertungseinheiten

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Vom Graphen zum Speicherbecken

AFB I · Reproduzieren

Pflichtaufgabe 1 · Analysis (25 BE). Alle drei Aufgaben dieses Teils sind zu bearbeiten. Die Gesamtarbeitszeit beträgt 255 Minuten einschließlich Teil A; zugelassene Hilfsmittel sind eine Formelsammlung, Zeichengeräte und ein grafikfähiger Taschenrechner. — Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3 \cdot x^2 - 9 \cdot x + 11$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$.

Der Graph von f zwischen x = −3,2 und x = 5,2.

Berechnen Sie die Nullstellen von $f$ sowie die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunktes. (7 BE)
Weisen Sie nach, dass der Graph von $f$ genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. (6 BE)
Der Graph von $f$ und die $x$-Achse begrenzen über dem Intervall $0 \leq x \leq 2$ zwei Flächenstücke. Berechnen Sie den Inhalt der gesamten Fläche. (5 BE)
Für $0 \leq t \leq 4$ beschreibt $f(t)$ die momentane Änderungsrate der Wassermenge in einem Regenwasserspeicher in Kubikmetern je Stunde; dabei ist $t$ die Zeit in Stunden nach Beginn der Messung. Zu Beginn enthält der Speicher $30$ Kubikmeter. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die größte Wassermenge im Speicher befindet, sowie diese Wassermenge, und geben Sie an, wann die Wassermenge am schnellsten abnimmt. (7 BE)

Das Zeltdach des Musikpavillons

AFB II · Zusammenhänge herstellen

Pflichtaufgabe 2 · Analytische Geometrie (15 BE). Das Zeltdach eines Musikpavillons wird modellhaft durch die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0 \mid 0 \mid 0)$, $B(8 \mid 0 \mid 0)$, $C(8 \mid 8 \mid 0)$, $D(0 \mid 8 \mid 0)$ und der Spitze $S(4 \mid 4 \mid 6)$ beschrieben. Das Quadrat $ABCD$ liegt in der waagerechten $x$-$y$-Ebene. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

Die Pyramide im Koordinatensystem; die verdeckten Kanten sind gestrichelt. Orange die Dachfläche BCS.

Berechnen Sie die Länge der Seitenkante $\overline{AS}$ und weisen Sie nach, dass alle vier Seitenkanten gleich lang sind. (4 BE)
Weisen Sie nach, dass $\varepsilon: 3x + 2z = 24$ eine Gleichung der Ebene durch die Punkte $B$, $C$ und $S$ ist. (4 BE)
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Dachfläche $BCS$ gegen die waagerechte Ebene geneigt ist. (4 BE)
Berechnen Sie den Abstand des Mittelpunktes $M(4 \mid 4 \mid 0)$ der Grundfläche von der Ebene $\varepsilon$. (3 BE)

Retouren im Versandhandel

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Pflichtaufgabe 3 · Stochastik (15 BE). Ein Versandhändler für Sportbekleidung wertet seine Bestellungen aus. $60\,\%$ aller Bestellungen werden über die App aufgegeben (Ereignis $E$), $25\,\%$ aller Bestellungen werden zurückgeschickt (Ereignis $R$). Auf $18\,\%$ aller Bestellungen trifft beides zu.

Die Vierfeldertafel mit den drei gegebenen Werten. E steht für „über die App bestellt“, R für „zurückgeschickt“.

Übertragen Sie die Vierfeldertafel in Ihre Arbeit und vervollständigen Sie sie. Berechnen Sie anschließend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine über die App aufgegebene Bestellung zurückgeschickt wird. (4 BE)
Untersuchen Sie, ob die Ereignisse $E$ und $R$ stochastisch unabhängig sind. (3 BE)
Aus dem gesamten Bestellaufkommen werden zufällig $20$ Bestellungen ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $5$ von ihnen zurückgeschickt werden, sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es höchstens $3$ sind. (4 BE)
Formulieren Sie ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem Term $1 - 0{,}75^{20} - 20 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^{19}$ berechnen lässt, und geben Sie den Wert dieses Terms an. (4 BE)

Lösungen

1 · Vom Graphen zum Speicherbecken

a) Wegen $f(1) = 1 - 3 - 9 + 11 = 0$ ist $x = 1$ eine Nullstelle. Die Polynomdivision ergibt $\left(x^3 - 3x^2 - 9x + 11\right) : (x - 1) = x^2 - 2x - 11$, und aus $x^2 - 2x - 11 = 0$ folgt $x = 1 \pm \sqrt{12}$. Die Nullstellen sind also $x_1 = 1 - 2\sqrt{3} \approx -2{,}46$, $x_2 = 1$ und $x_3 = 1 + 2\sqrt{3} \approx 4{,}46$. Weiter ist $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3 \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)$, also $x = -1$ oder $x = 3$. Mit $f''(x) = 6x - 6$ ist $f''(-1) = -12 < 0$ und $f''(3) = 12 > 0$. Damit Hochpunkt $H(-1 \mid 16)$ und Tiefpunkt $T(3 \mid -16)$.

b) $f''(x) = 6x - 6 = 0$ liefert genau die Stelle $x = 1$; eine lineare Funktion hat höchstens eine Nullstelle, also kommt keine weitere Stelle in Frage. Wegen $f'''(x) = 6 \neq 0$ wechselt $f''$ dort das Vorzeichen, es liegt ein Wendepunkt vor: $W(1 \mid 0)$. Der Anstieg der Wendetangente ist $f'(1) = 3 - 6 - 9 = -12$, damit $y = -12 \cdot (x - 1)$, also $y = -12x + 12$. Nebenbei: Mit $x = 1 + u$ wird $f(1 + u) = u^3 - 12u$, eine ungerade Funktion — der Graph ist punktsymmetrisch zu $W$.

c) Eine Stammfunktion ist $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 11x$. Über $0 \leq x \leq 1$ verläuft der Graph oberhalb der $x$-Achse: $\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = F(1) - F(0) = 5{,}75$. Über $1 \leq x \leq 2$ verläuft er unterhalb: $\int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x = F(2) - F(1) = 0 - 5{,}75 = -5{,}75$. Für den Flächeninhalt werden die Beträge addiert: $A = 5{,}75 + 5{,}75 = 11{,}5$ Flächeneinheiten.

d) Solange $f(t) > 0$ ist, wächst die Wassermenge; ab $t = 1$ ist $f(t) < 0$, sie nimmt also ab. Die größte Wassermenge liegt somit nach einer Stunde vor, und zwar $30 + \int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t = 30 + 5{,}75 = 35{,}75$ Kubikmeter. Am schnellsten nimmt die Menge dort ab, wo die Änderungsrate am kleinsten ist, also im Tiefpunkt von $f$: nach 3 Stunden mit $16$ Kubikmetern je Stunde. Zur Einordnung: $\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t = F(4) - F(0) = -28$, nach vier Stunden sind also noch $2$ Kubikmeter im Speicher.

Zu b): die Wendetangente mit dem Anstieg −12. Hoch- und Tiefpunkt liegen spiegelbildlich zum Wendepunkt W(1 | 0).

Zu c): beide Flächenstücke haben den Inhalt 5,75, liegen aber auf verschiedenen Seiten der x-Achse. Ihre Integrale heben sich auf, ihre Flächeninhalte nicht.

In Teil c) ist die Fläche gefragt, nicht das Integral. Wegen der Punktsymmetrie zum Wendepunkt ist $\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ — wer nur einmal durchintegriert, erhält null und damit eine Fläche, die es nicht gibt.

2 · Das Zeltdach des Musikpavillons

a) $\overrightarrow{AS} = \begin{pmatrix}4\\4\\6\end{pmatrix}$, also $\left|\overrightarrow{AS}\right| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8{,}25$ m. Für die übrigen Seitenkanten gilt $\overrightarrow{BS} = \begin{pmatrix}-4\\4\\6\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CS} = \begin{pmatrix}-4\\-4\\6\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{DS} = \begin{pmatrix}4\\-4\\6\end{pmatrix}$. In die Länge gehen nur die Quadrate der Koordinaten ein, und die sind jedes Mal $16$, $16$ und $36$ — alle vier Kanten sind $\sqrt{68}$ m lang, die Pyramide ist also gerade.

b) Die Ebene wird von $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{BS} = \begin{pmatrix}-4\\4\\6\end{pmatrix}$ aufgespannt. Ein Normalenvektor ist $\vec{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BS} = \begin{pmatrix}48\\0\\32\end{pmatrix}$, gekürzt $\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}$ — das sind genau die Koeffizienten der angegebenen Gleichung. Einsetzen der drei Punkte: $B: 3 \cdot 8 + 2 \cdot 0 = 24$, $C: 3 \cdot 8 + 2 \cdot 0 = 24$ und $S: 3 \cdot 4 + 2 \cdot 6 = 24$. Alle drei erfüllen die Gleichung, also beschreibt sie die Ebene durch $B$, $C$ und $S$.

c) Die waagerechte Ebene hat den Normalenvektor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. Für den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt $\cos\alpha = \frac{\left|\vec{n_1} \circ \vec{n_2}\right|}{\left|\vec{n_1}\right| \cdot \left|\vec{n_2}\right|} = \frac{2}{\sqrt{13}} \approx 0{,}5547$, also $\alpha \approx 56{,}3^\circ$. Der Aufriss zeigt dasselbe: Die Dachfläche steigt auf $4$ m waagerechter Strecke um $6$ m, und aus $\tan\alpha = 1{,}5$ folgt derselbe Winkel.

d) Die Ebene in Hesse'scher Normalenform, mit $\left|\vec{n}\right| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{13}$: $d = \frac{\left|3 \cdot 4 + 2 \cdot 0 - 24\right|}{\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}} \approx 3{,}33$ m. Der Punkt $M$ liegt also gut drei Meter unterhalb der Dachfläche — deutlich weniger als die Höhe $6$ m der Pyramide, denn gemessen wird senkrecht zum Dach.

Zu c): der senkrechte Schnitt durch die Pyramide in der Ebene y = 4. Die Zeichnung ist längentreu, der eingezeichnete Winkel ist der gesuchte.

Der Neigungswinkel der Fläche ist nicht der Neigungswinkel der Kante. Für die Seitenkante $\overline{BS}$ gilt $\sin\beta = \frac{6}{\sqrt{68}} \approx 0{,}728$, also $\beta \approx 46{,}7^\circ$. Wer in Teil c) mit einer Seitenkante statt mit dem Normalenvektor rechnet, liegt fast zehn Grad daneben.

3 · Retouren im Versandhandel

a) Aus $P(E) = 0{,}6$ und $P(E \cap R) = 0{,}18$ folgt $P(E \cap \overline{R}) = 0{,}42$; aus $P(R) = 0{,}25$ folgt $P(\overline{E} \cap R) = 0{,}07$, und schließlich ist $P(\overline{E} \cap \overline{R}) = 0{,}33$ sowie $P(\overline{E}) = 0{,}4$ und $P(\overline{R}) = 0{,}75$. Gefragt ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_E(R) = \frac{P(E \cap R)}{P(E)} = \frac{0{,}18}{0{,}6} = 0{,}3$: Von den App-Bestellungen gehen $30\,\%$ zurück.

b) Unabhängigkeit hieße $P(E \cap R) = P(E) \cdot P(R)$. Hier ist $P(E) \cdot P(R) = 0{,}6 \cdot 0{,}25 = 0{,}15$, tatsächlich aber $P(E \cap R) = 0{,}18$. Wegen $0{,}18 \neq 0{,}15$ sind die Ereignisse nicht unabhängig — über die App wird häufiger zurückgeschickt als im Durchschnitt ($30\,\%$ statt $25\,\%$).

c) Die Anzahl $X$ der zurückgeschickten Bestellungen ist binomialverteilt mit $n = 20$ und $p = 0{,}25$. Damit ist $P(X = 5) = \binom{20}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^{15} \approx 0{,}202$ und $P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{20}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{20-k} \approx 0{,}225$.

d) Der Term hat die Bauart $1 - P(X = 0) - P(X = 1)$, denn $0{,}75^{20} = P(X = 0)$ und $20 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^{19} = P(X = 1)$. Er beschreibt also das Ereignis „Mindestens zwei der 20 ausgewählten Bestellungen werden zurückgeschickt.“ Sein Wert ist $1 - 0{,}0032 - 0{,}0211 \approx 0{,}976$.

Zu a): die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

Zu c): die Binomialverteilung für n = 20 und p = 0,25. Grün die vier Balken für höchstens 3 Retouren, rot der Balken für genau 5.

Die $18\,\%$ sind nicht die Antwort auf Teil a). Sie beziehen sich auf alle Bestellungen; gefragt ist aber nur nach den App-Bestellungen. Deshalb wird durch $P(E) = 0{,}6$ geteilt und nicht durch $1$.