Doc Alvers Mathe-Labor

Abitur-Training: Stochastik — Leistungskurs

Berufliches Gymnasium · Pflichtaufgabe 3 · Leistungskurs · drei Aufgaben, Anforderungsbereiche I bis III

Endkontrolle in der Leuchtenfertigung

AFB I · Reproduzieren

Ein Betrieb fertigt Akku-Handleuchten. Jede Leuchte durchläuft nacheinander drei Prüfungen: die Maßprüfung (Ereignis $M$: Maß in Ordnung), die Dichtheitsprüfung (Ereignis $D$) und die Funktionsprüfung (Ereignis $F$). Erfahrungsgemäß werden $4\ \%$ der Leuchten bei der Maßprüfung, $5\ \%$ bei der Dichtheitsprüfung und $10\ \%$ bei der Funktionsprüfung beanstandet. Die drei Prüfungen sind voneinander unabhängig; jede Leuchte durchläuft alle drei.

Das Baumdiagramm der drei Prüfungen. An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Schritt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Leuchte alle drei Prüfungen besteht.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Leuchte bei genau einer der drei Prüfungen beanstandet wird.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Leuchte mindestens eine Beanstandung erhält.
Täglich werden $2500$ Leuchten gefertigt. Geben Sie an, wie viele davon im Mittel einwandfrei sind und wie viele mindestens eine Beanstandung erhalten.

Woher stammt die Zelle?

AFB II · Zusammenhänge herstellen

Die Akkuzellen für die Leuchten kommen von zwei Zulieferern: $70\ \%$ der Zellen liefert Zulieferer 1 (Ereignis $Z_1$), $30\ \%$ Zulieferer 2 (Ereignis $Z_2$). Von den Zellen des ersten Zulieferers sind $2\ \%$ schadhaft (Ereignis $S$). Insgesamt sind $3{,}2\ \%$ aller gelieferten Zellen schadhaft.

Die Verteilung von X für n gleich 40 und p gleich 0,3. Grün markiert sind die Werte innerhalb einer halben Standardabweichung um den Erwartungswert.

Bestimmen Sie den Anteil der schadhaften Zellen bei Zulieferer 2.
Eine zufällig entnommene Zelle ist nicht schadhaft. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie von Zulieferer 1 stammt.
Aus einer großen Lieferung werden $40$ Zellen zufällig entnommen; die Zufallsgröße $X$ zählt die Zellen von Zulieferer 2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
Ermitteln Sie, wie viele Zellen mindestens geprüft werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\ \%$ wenigstens eine schadhafte Zelle darunter ist.

Hält der Akku, was die Werbung verspricht?

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Der Betrieb wirbt damit, dass mindestens $85\ \%$ der Akkus nach $500$ Ladezyklen noch mindestens $80\ \%$ ihrer Anfangskapazität haben. Ein Prüflabor testet $200$ zufällig ausgewählte Akkus; $163$ davon erfüllen die Bedingung. Die Werbeaussage soll mit einem Signifikanztest auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\ \%$ überprüft werden. Die Zufallsgröße $X$ zählt die Akkus in der Stichprobe, die die Bedingung erfüllen.

Geben Sie Null- und Gegenhypothese an, begründen Sie die Testrichtung und berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von $X$ unter $H_0$.
Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und geben Sie die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art an.
Entscheiden Sie anhand der Stichprobe und formulieren Sie eine Empfehlung für das Prüflabor.
Nehmen Sie an, in Wahrheit erfüllen nur $80\ \%$ der Akkus die Bedingung. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art und deuten Sie das Ergebnis.

Lösungen

1 · Endkontrolle in der Leuchtenfertigung

a) Ein Pfad im Baumdiagramm wird durchmultipliziert (Pfadmultiplikationsregel): $P(M \cap D \cap F) = 0{,}96 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}90 = 0{,}8208$, also rund $82{,}1\ \%$.

b) Genau eine Beanstandung heißt: genau einer der drei Faktoren ist der Fehleranteil. Die drei Pfade werden addiert (Pfadadditionsregel): $0{,}04 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}90 + 0{,}96 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}90 + 0{,}96 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}10 = 0{,}0342 + 0{,}0432 + 0{,}0912 = 0{,}1686$, also rund $16{,}9\ \%$.

c) Über das Gegenereignis „keine Beanstandung“: $P(\text{mindestens eine}) = 1 - 0{,}8208 = 0{,}1792$, also rund $17{,}9\ \%$. Der Unterschied zu b) sind die Leuchten mit zwei oder drei Beanstandungen: $0{,}1792 - 0{,}1686 = 0{,}0106$.

d) Erwartungswerte bei $2500$ Leuchten: $2500 \cdot 0{,}8208 = 2052$ einwandfreie Leuchten und $2500 \cdot 0{,}1792 = 448$ Leuchten mit mindestens einer Beanstandung. Zusammen sind das wieder $2500$.

Derselbe Baum mit allen acht Pfadwahrscheinlichkeiten. Ihre Summe ist 1 — eine gute Probe für die Rechnung.

„Genau eine Beanstandung“ und „mindestens eine Beanstandung“ sind zwei verschiedene Ereignisse. Für „mindestens“ lohnt fast immer das Gegenereignis, für „genau“ muss man die Pfade wirklich einzeln aufschreiben und addieren.

2 · Woher stammt die Zelle?

a) Der Gesamtanteil setzt sich aus beiden Zulieferern zusammen: $P(S) = P(Z_1) \cdot P_{Z_1}(S) + P(Z_2) \cdot P_{Z_2}(S)$, also $0{,}032 = 0{,}70 \cdot 0{,}02 + 0{,}30 \cdot x = 0{,}014 + 0{,}30x$. Daraus folgt $0{,}30x = 0{,}018$ und $x = 0{,}06$: bei Zulieferer 2 sind $6\ \%$ der Zellen schadhaft, dreimal so viele wie bei Zulieferer 1.

b) Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{S}}(Z_1)$. Es ist $P(Z_1 \cap \overline{S}) = 0{,}70 \cdot 0{,}98 = 0{,}686$ und $P(\overline{S}) = 1 - 0{,}032 = 0{,}968$, also $P_{\overline{S}}(Z_1) = \dfrac{0{,}686}{0{,}968} \approx 0{,}7087$, rund $70{,}9\ \%$. Eine einwandfreie Zelle stammt also etwas häufiger von Zulieferer 1, als es dessen Lieferanteil von $70\ \%$ erwarten lässt.

c) Weil die Lieferung groß ist, darf $X$ als binomialverteilt mit $n = 40$ und $p = 0{,}30$ angesehen werden: $E(X) = 12$ und $\sigma = \sqrt{40 \cdot 0{,}30 \cdot 0{,}70} = \sqrt{8{,}4} \approx 2{,}898$. Eine halbe Standardabweichung sind $1{,}449$, gesucht ist also $P(10{,}55 \leq X \leq 13{,}45) = P(11 \leq X \leq 13) = P(X{=}11) + P(X{=}12) + P(X{=}13) \approx 0{,}3945$, rund $39{,}5\ \%$.

d) Jede Zelle ist unabhängig von den anderen mit $p = 0{,}032$ schadhaft. Gesucht ist das kleinste $n$ mit $1 - 0{,}968^{\,n} \geq 0{,}99$, also $0{,}968^{\,n} \leq 0{,}01$. Logarithmieren liefert $n \geq \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}968} \approx 141{,}6$, also müssen 142 Zellen geprüft werden. Zur Probe: $1 - 0{,}968^{141} \approx 0{,}9898$ reicht noch nicht, $1 - 0{,}968^{142} \approx 0{,}9901$ reicht.

In b) wird die Frage umgedreht: gegeben ist die Wirkung (Zelle in Ordnung), gesucht ist die Ursache (Zulieferer). $P_{\overline{S}}(Z_1) \approx 0{,}709$ und $P_{Z_1}(\overline{S}) = 0{,}98$ sind völlig verschiedene Zahlen. Zum Vergleich: eine schadhafte Zelle stammt mit $\dfrac{0{,}018}{0{,}032} = 0{,}5625$ von Zulieferer 2, obwohl er nur $30\ \%$ liefert.

3 · Hält der Akku, was die Werbung verspricht?

a) $H_0$: $p \geq 0{,}85$ (die Werbeaussage stimmt), $H_1$: $p < 0{,}85$. Zweifel entstehen nur bei zu wenigen haltbaren Akkus, deshalb wird linksseitig getestet. Gerechnet wird mit dem Randwert $p = 0{,}85$: $X$ ist binomialverteilt mit $n = 200$ und $p = 0{,}85$, also $E(X) = 170$ und $\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15} = \sqrt{25{,}5} \approx 5{,}05$.

b) Gesucht ist das größte $k$ mit $P(X \leq k) \leq 0{,}05$. Es ist $P(X \leq 161) \approx 0{,}0498$ und $P(X \leq 162) \approx 0{,}0720$. Also ist $\overline{A} = \{0;\,1;\,\dots;\,161\}$ der Ablehnungsbereich und $A = \{162;\,\dots;\,200\}$ der Annahmebereich. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist $0{,}0498$, also rund $4{,}98\ \%$ — knapp unter dem Niveau von $5\ \%$.

c) Der beobachtete Wert $163$ liegt im Annahmebereich. $H_0$ wird nicht verworfen: Die Stichprobe widerspricht der Werbeaussage auf dem Niveau von $5\ \%$ nicht, obwohl der Stichprobenanteil mit $\frac{163}{200} = 0{,}815$ unter $0{,}85$ liegt. Empfehlung: Die Aussage darf stehen bleiben, ein Beweis für sie ist das Ergebnis aber nicht — für eine belastbare Aussage müsste das Labor mehr Akkus prüfen.

d) Fehler 2. Art heißt: $H_0$ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. Bei $p = 0{,}80$ ist $E(X) = 160$ und $\sigma = \sqrt{32} \approx 5{,}66$; gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobe trotzdem im Annahmebereich landet: $\beta = P(X \geq 162 \mid p = 0{,}80) = 1 - P(X \leq 161 \mid p = 0{,}80) \approx 0{,}4019$, also rund $40{,}2\ \%$. In gut zwei von fünf Fällen bliebe eine Verschlechterung auf $80\ \%$ also unentdeckt — der Test ist bei $n = 200$ wenig trennscharf.

Beide Verteilungen in einem Bild. Links vom Schnitt bei 161,5 liegt der Ablehnungsbereich: die rote Fläche unter der Kurve für p gleich 0,85 ist der Fehler 1. Art. Rechts davon liegt der Annahmebereich: die grüne Fläche unter der Kurve für p gleich 0,80 ist der Fehler 2. Art.

„$H_0$ nicht verworfen“ heißt nicht „$H_0$ bewiesen“. Der Fehler 2. Art wird unter der angenommenen wahren Wahrscheinlichkeit gerechnet, hier $p = 0{,}80$, und über den Annahmebereich — nicht über den Ablehnungsbereich und nicht mit $p = 0{,}85$.