Abitur-Training: Stochastik
Grillstand auf dem Schulfest
AFB I · ReproduzierenAuf dem Schulfest eines Beruflichen Gymnasiums sind $60\ \%$ der Besucher Schülerinnen und Schüler (Ereignis $S$). $45\ \%$ aller Besucher essen am Grillstand (Ereignis $G$). $30\ \%$ aller Besucher sind Schülerinnen oder Schüler und essen am Grillstand. Ein Besucher wird zufällig ausgewählt.
- Übernehmen Sie die Vierfeldertafel und vervollständigen Sie sie.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Schülerin oder ein zufällig ausgewählter Schüler am Grillstand isst.
- Untersuchen Sie, ob die Ereignisse $S$ und $G$ stochastisch unabhängig sind.
- Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit $0{,}15$ beträgt.
Die Losbude
AFB II · Zusammenhänge herstellenAn einer Losbude gewinnt jedes Los unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}25$. Eine Klasse zieht $12$ Lose. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Gewinne.
- Geben Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$ an.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für genau drei Gewinne und die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Gewinne höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
- Ermitteln Sie, wie viele Lose mindestens gezogen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\ \%$ wenigstens ein Gewinn dabei ist.
Lohnt sich die Bude noch?
AFB III · Reflektieren und BeurteilenDer Veranstalter wirbt damit, dass mindestens jedes vierte Los gewinnt. Am Ende des Tages werden $200$ zufällig ausgewählte verkaufte Lose überprüft; darunter sind $38$ Gewinne. Die Behauptung soll mit einem linksseitigen Signifikanztest auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\ \%$ überprüft werden.
- Geben Sie die Nullhypothese an und begründen Sie, warum linksseitig getestet wird.
- Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
- Treffen Sie eine Entscheidung und formulieren Sie eine Empfehlung für den Veranstalter.
- Geben Sie die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art an und beschreiben Sie den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.
Lösungen
1 · Grillstand auf dem Schulfest
a) Zeilen- und Spaltensummen füllen die Tafel: $P(S \cap \overline{G}) = 0{,}60 - 0{,}30 = 0{,}30$, $P(\overline{S} \cap G) = 0{,}45 - 0{,}30 = 0{,}15$, $P(\overline{S} \cap \overline{G}) = 1 - 0{,}60 - 0{,}45 + 0{,}30 = 0{,}25$, $P(\overline{S}) = 0{,}40$ und $P(\overline{G}) = 0{,}55$.
b) Gefragt ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_S(G) = \dfrac{P(S \cap G)}{P(S)} = \dfrac{0{,}30}{0{,}60} = 0{,}5$, also $50\ \%$.
c) Bei Unabhängigkeit müsste $P(S) \cdot P(G) = P(S \cap G)$ gelten. Es ist aber $0{,}60 \cdot 0{,}45 = 0{,}27 \neq 0{,}30$. Die Ereignisse sind also abhängig — Schülerinnen und Schüler gehen etwas häufiger an den Grillstand als der Durchschnitt.
d) $P(\overline{S} \cap G) = 0{,}15$: „Der ausgewählte Besucher ist keine Schülerin und kein Schüler und isst am Grillstand.“
$P_S(G) = 0{,}5$ und $P(S \cap G) = 0{,}30$ sind zwei verschiedene Dinge. Beim ersten ist die Grundmenge nur noch die Schülerschaft, beim zweiten sind es alle Besucher.
2 · Die Losbude
a) $X$ ist binomialverteilt mit $n = 12$ und $p = 0{,}25$. $E(X) = n \cdot p = 3$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{12 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$.
b) $P(X = 3) = \binom{12}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^9 = 220 \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^9 \approx 0{,}258$. Für mindestens einen Gewinn über das Gegenereignis: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}75^{12} \approx 0{,}968$.
c) Eine Standardabweichung um den Erwartungswert heißt $3 - 1{,}5 \leq X \leq 3 + 1{,}5$, also $1{,}5 \leq X \leq 4{,}5$. Da $X$ nur ganze Zahlen annimmt, ist das $P(2 \leq X \leq 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \approx 0{,}684$.
d) Gesucht ist das kleinste $n$ mit $1 - 0{,}75^{\,n} \geq 0{,}99$, also $0{,}75^{\,n} \leq 0{,}01$. Logarithmieren: $n \geq \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}75} \approx 16{,}01$. Da $n$ ganzzahlig ist, werden 17 Lose gebraucht.
Beim Logarithmieren dreht sich das Ungleichheitszeichen um, weil $\ln 0{,}75$ negativ ist. Und $16{,}01$ wird aufgerundet — $16$ Lose reichen noch nicht ganz.
3 · Lohnt sich die Bude noch?
a) $H_0$: $p \geq 0{,}25$ („mindestens jedes vierte Los gewinnt“), $H_1$: $p < 0{,}25$. Zweifel entstehen nur bei zu wenigen Gewinnen, deshalb liegt der Ablehnungsbereich links. Unter $H_0$ wird mit dem Randwert $p = 0{,}25$ gerechnet: $X$ ist binomialverteilt mit $n = 200$ und $p = 0{,}25$, $E(X) = 50$ und $\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} \approx 6{,}12$.
b) Gesucht ist das größte $k$ mit $P(X \leq k) \leq 0{,}05$. Aus der Tabelle beziehungsweise mit dem Rechner: $P(X \leq 39) \approx 0{,}0405$ und $P(X \leq 40) \approx 0{,}0579$. Also ist $\overline{A} = \{0;\,1;\,\dots;\,39\}$ der Ablehnungsbereich, $A = \{40;\,\dots;\,200\}$ der Annahmebereich.
c) Der beobachtete Wert $38$ liegt im Ablehnungsbereich. $H_0$ wird also verworfen: Auf dem Niveau von $5\ \%$ spricht die Stichprobe dagegen, dass mindestens jedes vierte Los gewinnt. Empfehlung: Der Veranstalter sollte die Werbeaussage zurücknehmen oder den Anteil der Gewinnlose erhöhen.
d) Der Fehler 1. Art ist die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ zu verwerfen, obwohl sie stimmt: $P(X \leq 39 \mid p = 0{,}25) \approx 0{,}0405$, also rund $4{,}1\ \%$ — weniger als die zugelassenen $5\ \%$, weil $X$ nur ganze Werte annimmt. Der Fehler 2. Art wäre: Der Anteil der Gewinnlose liegt tatsächlich unter $25\ \%$, die Stichprobe ergibt aber $40$ oder mehr Gewinne — die Werbeaussage bliebe unbeanstandet, obwohl sie falsch ist.
Das Signifikanzniveau wird nicht ausgeschöpft. $5\ \%$ ist eine Schranke, die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit ist der Wert an der Grenze des Ablehnungsbereichs — hier $4{,}1\ \%$. Wer $k = 40$ nimmt, überschreitet mit $5{,}8\ \%$ das Niveau.