Doc Alvers Mathe-Labor

Abitur-Training: Wachstum und Zerfall — Exponentialfunktionen

Berufliches Gymnasium · Pflichtaufgabe 1 · Grund- und Leistungskurs · drei Aufgaben, Anforderungsbereiche I bis III

Radon im Keller

AFB I · Reproduzieren

Ein Kellerraum wird gegen aufsteigendes Radon abgedichtet, neues Gas dringt danach nicht mehr nach. Die Aktivitätskonzentration des eingeschlossenen Radons nimmt dann exponentiell ab: $A(t) = A_0 \cdot e^{-k \cdot t}$. Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen seit dem Abdichten und $A(t)$ die Konzentration in Becquerel je Kubikmeter. Unmittelbar nach dem Abdichten werden 900 Bq je Kubikmeter gemessen, sechs Tage später noch 300.

Die Zerfallskurve. Von 900 auf 450 vergehen 3,8 Tage, von 450 auf 225 noch einmal genauso lange — die Halbierungszeit bleibt gleich.

Bestimmen Sie $A_0$ und die Zerfallskonstante $k$ aus den beiden Messwerten.
Berechnen Sie die Halbwertszeit des Radons.
Berechnen Sie die Konzentration zehn Tage nach dem Abdichten.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf 100 Bq je Kubikmeter gesunken ist.

Die letzten Prozent am Ladegerät

AFB II · Zusammenhänge herstellen

Ein Akku hängt am Ladegerät. Sein Ladezustand lässt sich durch $L(t) = 100 - 80 \cdot e^{-k \cdot t}$ beschreiben; dabei ist $t$ die Ladezeit in Minuten und $L(t)$ der Ladezustand in Prozent. Beim Anstecken zeigt der Akku 20 %, nach 15 Minuten sind es 60 %.

Die Ladekurve mit der Sättigungsgrenze als gestrichelter Linie. Nach 15 Minuten fehlen noch 40 Prozentpunkte bis zur Grenze.

Bestimmen Sie die Konstante $k$.
Untersuchen Sie das Verhalten von $L$ für $t \to \infty$ und begründen Sie, dass der Ladezustand von 100 % nie erreicht wird.
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Akku zu 90 % geladen ist.
Berechnen Sie die momentane Änderungsrate des Ladezustands nach 15 Minuten und vergleichen Sie sie mit der Änderungsrate zu Beginn.

Zwei Modelle, eine Messreihe

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Eine Lern-App wird seit dem Start beobachtet. Zu Beginn waren 2000 Nutzerinnen und Nutzer registriert, nach vier Monaten 6000. Der erreichbare Markt umfasst höchstens 12 000 Personen. Zwei Modelle sollen die Entwicklung beschreiben, dabei ist $t$ die Zeit in Monaten und $N$ die Nutzerzahl in Tausend: das exponentielle Modell $N_A(t) = 2 \cdot e^{a \cdot t}$ und das beschränkte Modell $N_B(t) = 12 - 10 \cdot e^{-b \cdot t}$.

Beide Modelle laufen durch dieselben zwei Messpunkte. Danach geht die Schere auf: Der exponentielle Graph verlässt das Bild, der beschränkte legt sich an die Marktgrenze.

Bestimmen Sie die Konstanten $a$ und $b$ so, dass beide Modelle die beiden Messwerte treffen.
Berechnen Sie die Prognosen beider Modelle für $t = 12$ und begründen Sie mit dem Verhalten für $t \to \infty$, welches Modell für eine langfristige Vorhersage geeignet ist.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem sich die beiden Prognosen um mehr als 3000 Nutzer unterscheiden.
Beurteilen Sie die Aussage: „Nach einem Jahr hat die App mehr als 50 000 Nutzer.“

Lösungen

1 · Radon im Keller

a) Der erste Messwert gehört zu $t = 0$, also ist $A_0 = 900$. Der zweite liefert $900 \cdot e^{-6k} = 300$, nach Division $e^{-6k} = \dfrac{1}{3}$. Logarithmieren beider Seiten ergibt $-6 \cdot k = \ln \dfrac{1}{3} = -\ln 3$ und damit $k = \dfrac{\ln 3}{6} \approx 0{,}1831$ je Tag.

b) Halbwertszeit heißt $A(T) = \dfrac{1}{2} \cdot A_0$, also $e^{-k \cdot T} = \dfrac{1}{2}$ und $T = \dfrac{\ln 2}{k} = \dfrac{6 \cdot \ln 2}{\ln 3} \approx 3{,}79$ Tage. Der Anfangswert $A_0$ kürzt sich heraus: Die Halbwertszeit ist immer dieselbe, egal von welchem Wert aus man misst.

c) $A(10) = 900 \cdot e^{-0{,}1831 \cdot 10} \approx 900 \cdot 0{,}1602 \approx 144$. Zehn Tage nach dem Abdichten sind es noch rund 144 Bq je Kubikmeter.

d) Aus $900 \cdot e^{-k \cdot t} = 100$ folgt $e^{-k \cdot t} = \dfrac{1}{9}$, also $k \cdot t = \ln 9 = 2 \cdot \ln 3$ und damit $t = \dfrac{2 \cdot \ln 3}{k} = \dfrac{2 \cdot \ln 3 \cdot 6}{\ln 3} = 12$. Nach genau 12 Tagen ist der Wert erreicht — das sind zwei Schritte von je sechs Tagen, in denen sich die Konzentration jeweils drittelt.

Der Zerfall ist nicht linear. Wer aus dem Rückgang um 600 Bq je Kubikmeter in sechs Tagen 100 Bq je Tag macht, ist nach neun Tagen bei null. Konstant ist nicht die Differenz, sondern der Faktor: alle sechs Tage ein Drittel, alle 3,8 Tage die Hälfte — deshalb wird der Wert nie null.

2 · Die letzten Prozent am Ladegerät

a) $L(15) = 60$ bedeutet $100 - 80 \cdot e^{-15k} = 60$, also $80 \cdot e^{-15k} = 40$ und nach Division $e^{-15k} = \dfrac{1}{2}$. Logarithmieren liefert $-15 \cdot k = -\ln 2$, also $k = \dfrac{\ln 2}{15} \approx 0{,}0462$ je Minute.

b) Für $t \to \infty$ geht $e^{-k \cdot t}$ gegen null, also $L(t) \to 100$. Der Graph nähert sich der waagerechten Asymptote bei 100 von unten an. Erreicht wird sie nie, denn die e-Funktion ist immer positiv: Der Abstand zur Grenze ist $100 - L(t) = 80 \cdot e^{-k \cdot t} > 0$ für jedes $t$. Die Sättigungsgrenze beträgt 100 %.

c) $100 - 80 \cdot e^{-k \cdot t} = 90$ ergibt $e^{-k \cdot t} = \dfrac{10}{80} = \dfrac{1}{8}$, also $k \cdot t = \ln 8 = 3 \cdot \ln 2$ und damit $t = \dfrac{3 \cdot \ln 2}{k} = \dfrac{3 \cdot \ln 2 \cdot 15}{\ln 2} = 45$. Nach 45 Minuten ist der Akku zu 90 % geladen — für die nächsten 30 Prozentpunkte braucht er mit 30 Minuten doppelt so lange wie für die ersten 40 Prozentpunkte.

d) Mit der Kettenregel ist $L'(t) = 80 \cdot k \cdot e^{-k \cdot t}$. Zu Beginn $L'(0) = 80 \cdot \dfrac{\ln 2}{15} \approx 3{,}70$ Prozentpunkte je Minute, nach 15 Minuten $L'(15) = 3{,}70 \cdot \dfrac{1}{2} \approx 1{,}85$ Prozentpunkte je Minute. Der Akku lädt dann also nur noch halb so schnell; in derselben Zeit, in der sich der Abstand zur Sättigungsgrenze halbiert, halbiert sich auch die Änderungsrate.

Zu d): Der Abstand zur Sättigungsgrenze halbiert sich alle 15 Minuten — 40, 20, 10 Prozentpunkte. Genauso verhält sich die Änderungsrate.

Was sich alle 15 Minuten halbiert, ist nicht der Ladezustand, sondern der Abstand zur Sättigungsgrenze: 80, 40, 20, 10 Prozentpunkte. Wer die 40 Prozentpunkte der ersten Viertelstunde einfach fortschreibt, meldet den Akku nach einer halben Stunde als voll — tatsächlich sind es dann erst 80 %.

3 · Zwei Modelle, eine Messreihe

a) Modell A: Wegen $N_A(0) = 2$ passt der Anfangswert bereits. Aus $N_A(4) = 6$ folgt $2 \cdot e^{4a} = 6$, also $e^{4a} = 3$ und $a = \dfrac{\ln 3}{4} \approx 0{,}2747$. Modell B: Auch hier stimmt der Anfangswert schon, denn $N_B(0) = 12 - 10 = 2$. Aus $N_B(4) = 6$ folgt $10 \cdot e^{-4b} = 6$, also $e^{-4b} = 0{,}6$ und $b = -\dfrac{\ln 0{,}6}{4} = \dfrac{\ln \frac{5}{3}}{4} \approx 0{,}1277$.

b) $N_A(12) = 2 \cdot e^{12a} = 2 \cdot 3^3 = 54$, also 54 000 Nutzer. $N_B(12) = 12 - 10 \cdot 0{,}6^3 = 12 - 2{,}16 = 9{,}84$, also 9840 Nutzer. Für $t \to \infty$ geht $e^{-b \cdot t}$ gegen null, damit $N_B(t) \to 12$: Modell B bleibt für immer unter der Marktgrenze. Modell A wächst dagegen über jede Schranke und überschreitet die 12 000 schon nach $t = \dfrac{\ln 6}{a} \approx 6{,}5$ Monaten. Langfristig ist deshalb nur Modell B brauchbar.

c) Gesucht ist die Lösung von $D(t) = N_A(t) - N_B(t) = 3$, ausgeschrieben $2 \cdot e^{a \cdot t} + 10 \cdot e^{-b \cdot t} - 12 = 3$. In dieser Gleichung stehen zwei verschiedene Exponentialterme, sie lässt sich nicht nach $t$ auflösen — hier hilft systematisches Probieren. Aus $D(5{,}9) \approx 2{,}82$ und $D(6) \approx 3{,}04$ folgt: Die Grenze wird zwischen diesen beiden Zeitpunkten überschritten, genauer bei $t \approx 5{,}98$. Also nach knapp sechs Monaten unterscheiden sich die Prognosen um mehr als 3000 Nutzer.

d) Die Aussage stützt sich allein auf Modell A, dort ist $N_A(12) = 54$, also mehr als 50. Modell B sagt für denselben Zeitpunkt nur 9840 Nutzer voraus. Dass beide Modelle die Messwerte exakt treffen, ist kein Gütesiegel: Zwei Messwerte legen in beiden Modellen genau die zwei freien Größen fest. Entscheidend ist die Sachlage — es gibt höchstens 12 000 mögliche Nutzer, und Modell A verletzt diese Vorgabe bereits nach gut einem halben Jahr. Die Aussage ist damit nicht haltbar. Kurzfristig taugen beide Modelle: In den ersten vier Monaten liegen sie nie mehr als rund 800 Nutzer auseinander.

Zu c): der Graph der Differenz beider Modelle. Zwischen den Messwerten ist sie negativ — dort liegt das beschränkte Modell vorn —, danach steigt sie und überschreitet die Marke 3 kurz vor dem sechsten Monat.

„Geht durch die Messpunkte“ ist kein Argument für ein Modell. Zwei Punkte legen zwei Parameter fest, das schafft hier jedes der beiden Modelle. Wer entscheiden will, muss auf das Verhalten zwischen den Messwerten und auf das Grenzverhalten danach schauen.