BLF-Training: Funktionen
Die verschobene Normalparabel
AFB I · ReproduzierenGegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 2x - 3$.
- Geben Sie die Nullstellen von $f$ und die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen mit der $y$-Achse an.
- Ermitteln Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts und den Wertebereich von $f$.
- Der Graph von $f$ wird um $3$ Einheiten nach links und um $2$ Einheiten nach oben verschoben. Geben Sie eine Gleichung der so entstehenden Funktion $g$ an.
- Geben Sie das größte Intervall an, in dem $f$ monoton fallend ist.
Potenzfunktion mit Polstelle
AFB II · Zusammenhänge herstellenGegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \dfrac{1}{(x - 2)^2} + 1$ in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich. Die Abbildung zeigt ihren Graphen und die Gerade $g$ mit $g(x) = -6x + 20$.
- Geben Sie die Polstelle und den Wertebereich von $f$ an.
- Bestimmen Sie alle Argumente von $f$, deren Funktionswert $5$ beträgt.
- Ermitteln Sie die Koordinaten aller gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $g$. Berechnen Sie den Abstand der beiden gemeinsamen Punkte, die rechts von der Polstelle liegen.
- Die Funktion $h$ mit $h(x) = \dfrac{1}{(x - a)^2} + b$ hat den Definitionsbereich $D_h = \{x \mid x \in \mathbb{R};\ x \neq -3\}$ und den Wertebereich $W_h = \{y \mid y \in \mathbb{R};\ y > -2\}$. Geben Sie $a$ und $b$ an.
Der Springbrunnen
AFB III · Reflektieren und BeurteilenDer Wasserstrahl eines Springbrunnens verläuft näherungsweise entlang des Graphen der Funktion $h$ mit $h(x) = -0{,}4x^2 + 2x + 0{,}5$ mit $x \geq 0$. Dabei ist $x$ der waagerechte Abstand von der Düse und $h(x)$ die Höhe über dem Boden, beide in Metern.
- Berechnen Sie die größte Höhe des Wasserstrahls und in welchem waagerechten Abstand von der Düse sie erreicht wird.
- Berechnen Sie, in welchem Abstand von der Düse der Strahl auf dem Boden auftrifft.
- Ermitteln Sie den Bereich, in dem der Strahl höher als $2$ m ist, und geben Sie dessen Breite an.
- Deuten Sie die Zahl $0{,}5$ im Funktionsterm im Sachzusammenhang. Bei höherem Wasserdruck wird der Strahl durch $k(x) = -0{,}25x^2 + 2x + 0{,}5$ beschrieben. Berechnen Sie, um wie viel Meter weiter der Strahl dann reicht.
Lösungen
1 · Die verschobene Normalparabel
a) $x^2 - 2x - 3 = 0$ mit der $p$-$q$-Formel: $x = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2$, also $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$. Probe über die Faktorzerlegung: $(x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3$. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $S_y(0 \mid -3)$.
b) Quadratisch ergänzen: $x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 1 - 3 = (x - 1)^2 - 4$. Scheitelpunkt $S(1 \mid -4)$. Die Parabel ist nach oben geöffnet, also ist $W_f = \{y \mid y \in \mathbb{R};\ y \geq -4\}$. Der Scheitel liegt auch genau in der Mitte zwischen den Nullstellen $-1$ und $3$.
c) Verschieben nach links heißt: $x$ durch $x + 3$ ersetzen; nach oben: $2$ addieren. $g(x) = (x + 3 - 1)^2 - 4 + 2 = (x + 2)^2 - 2$, ausmultipliziert $g(x) = x^2 + 4x + 2$. Der Scheitel wandert von $(1 \mid -4)$ nach $(-2 \mid -2)$.
d) Links vom Scheitel fällt die nach oben geöffnete Parabel: $f$ ist monoton fallend für $x \leq 1$, also im Intervall $(-\infty;\,1]$.
Bei c) verschiebt $x + 3$ den Graphen nach links, nicht nach rechts. Wer unsicher ist, prüft am Scheitel: $g(-2)$ muss $f(1) + 2 = -2$ sein.
2 · Potenzfunktion mit Polstelle
a) Der Nenner wird bei $x = 2$ null: Polstelle $x_p = 2$. Der Bruch $\frac{1}{(x - 2)^2}$ ist immer positiv und nimmt jeden positiven Wert an, aber nie $0$. Also $W_f = \{y \mid y \in \mathbb{R};\ y > 1\}$.
b) $\frac{1}{(x - 2)^2} + 1 = 5$ ergibt $(x - 2)^2 = \frac{1}{4}$, also $x - 2 = \pm\frac{1}{2}$. Die Argumente sind $x_1 = \frac{3}{2}$ und $x_2 = \frac{5}{2}$, symmetrisch zur Polstelle.
c) Mit dem MMS: $\frac{1}{(x - 2)^2} + 1 = -6x + 20$ hat die Lösungen $x = \frac{5}{3}$, $x = \frac{5}{2}$ und $x = 3$. Die Punkte sind $\left(\frac{5}{3} \mid 10\right)$, $\left(\frac{5}{2} \mid 5\right)$ und $(3 \mid 2)$. Rechts von $x = 2$ liegen die beiden letzten, ihr Abstand ist $d = \sqrt{\left(3 - \frac{5}{2}\right)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 9} = \frac{\sqrt{37}}{2} \approx 3{,}04$.
d) Die Definitionslücke liegt dort, wo der Nenner null ist, also bei $x = a$: $a = -3$. Die waagerechte Asymptote liegt bei $y = b$, und der Wertebereich beginnt knapp darüber: $b = -2$. Also $h(x) = \frac{1}{(x + 3)^2} - 2$.
Bei d) wird aus $x \neq -3$ im Term $(x + 3)$, das heißt $a = -3$ und nicht $a = 3$. Die Gleichung in c) führt ohne Rechner auf $6t^3 - 7t^2 + 1 = 0$ mit $t = x - 2$; deshalb ist hier das MMS gefragt.
3 · Der Springbrunnen
a) Scheitel über quadratische Ergänzung: $h(x) = -0{,}4 \cdot (x^2 - 5x) + 0{,}5 = -0{,}4 \cdot (x - 2{,}5)^2 + 2{,}5 + 0{,}5$. Der Scheitel ist $(2{,}5 \mid 3)$: Der Strahl ist in $2{,}5$ m Abstand am höchsten, nämlich $3$ m hoch.
b) $-0{,}4x^2 + 2x + 0{,}5 = 0$ ist gleichbedeutend mit $x^2 - 5x - 1{,}25 = 0$. $x = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 1{,}25} = 2{,}5 \pm \sqrt{7{,}5}$. Nur die positive Lösung passt: $x \approx 5{,}24$. Der Strahl trifft etwa $5{,}2$ m von der Düse entfernt auf.
c) $-0{,}4x^2 + 2x + 0{,}5 = 2$ ergibt $x^2 - 5x + 3{,}75 = 0$ mit $x = 2{,}5 \pm \sqrt{2{,}5}$, also $x_1 \approx 0{,}92$ und $x_2 \approx 4{,}08$. Zwischen etwa $0{,}9$ m und $4{,}1$ m ist der Strahl höher als $2$ m; der Bereich ist $2\sqrt{2{,}5} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$ m breit.
d) $h(0) = 0{,}5$: Die Düse sitzt $0{,}5$ m über dem Boden, dort beginnt der Strahl. Für $k$: $-0{,}25x^2 + 2x + 0{,}5 = 0$, also $x^2 - 8x - 2 = 0$ und $x = 4 + \sqrt{18} \approx 8{,}24$. Der neue Strahl reicht $8{,}24 - 5{,}24 \approx 3{,}0$ m weiter.
Bei b) liefert die Gleichung auch eine negative Lösung. Sie liegt „hinter“ der Düse und gehört nicht zum Modell, denn $h$ ist nur für $x \geq 0$ definiert. Solche Lösungen müssen in der Antwort ausdrücklich verworfen werden.