Doc Alvers Mathe-Labor

BLF-Training: Prüfungssimulation Teil B

Gymnasium · Klasse 10 · Besondere Leistungsfeststellung Mathematik · Teil B · drei Aufgaben, 10 + 6 + 14 Bewertungseinheiten

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Zwei Parabeln

AFB I · Reproduzieren

Aufgabe 1 · Funktionen (10 BE). Alle drei Aufgaben sind zu bearbeiten. Teil B beginnt, sobald Teil A nach 25 Minuten eingesammelt ist; für beide Teile zusammen stehen 90 Minuten zur Verfügung. Zugelassen sind das MMS, die Tabellen- und Formelsammlung und Zeichengeräte. — Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Geben Sie die Nullstellen von $f$ und die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen mit der $y$-Achse an. (2 BE)
Ermitteln Sie den Wertebereich von $f$. (2 BE)
Die Graphen von $f$ und der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = -(x - 4)^2 + 1$ schneiden sich in den Punkten $A$ und $B$. Ermitteln Sie eine Gleichung der linearen Funktion, deren Graph durch $A$ und $B$ verläuft. (4 BE)
Geben Sie den Wert von $c$ an, für den die Gleichung $x^2 - 6x + 5 = c$ genau eine Lösung hat, und begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE)

Grundstück und Urne

AFB II · Zusammenhänge herstellen

Aufgabe 2 (6 BE). Die beiden Teilaufgaben sind unabhängig voneinander. — Ein dreieckiges Grundstück $ABC$ hat die Seiten $\overline{BC} = 40$ m und $\overline{AC} = 55$ m, die bei $C$ einen Winkel von $72°$ einschließen (siehe Abbildung, nicht maßstäblich).

Das Grundstück (nicht maßstäblich).

Berechnen Sie die Länge der dritten Seite und den Flächeninhalt des Grundstücks. (4 BE)
In einer Urne liegen drei rote und zwei weiße Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine weiße Kugel dabei ist. (2 BE)

Im Freizeitbad

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Aufgabe 3 (14 BE). Ein Freizeitbad plant die nächste Saison.

Im vergangenen Jahr kamen $240\,000$ Gäste, $35\ \%$ davon waren Kinder. Von den Kindern hatten $20\ \%$ eine Jahreskarte. Ermitteln Sie den prozentualen Anteil der Kinder mit Jahreskarte an allen Gästen und ihre Anzahl. (2 BE)
Eine gerade Rutsche beginnt $6{,}5$ m über dem Boden und endet $14$ m (waagerecht gemessen) vom Startturm entfernt am Boden (Abbildung 1). Berechnen Sie die Länge der Rutsche und ihren Neigungswinkel $\alpha$. Die Vorschrift erlaubt höchstens $30°$. Prüfen Sie, ob die Rutsche sie einhält. (4 BE)
Das Becken ist $25$ m lang und $12$ m breit. Der Boden fällt gleichmäßig von $1$ m auf $3$ m Tiefe ab (Abbildung 2). Berechnen Sie das Wasservolumen des vollen Beckens und die Zeit, die eine Pumpe mit $40\ \mathrm{m}^3$ pro Stunde zum Füllen braucht. (4 BE)
Der Chlorgehalt des Wassers wird durch $C(t) = 0{,}6 \cdot 0{,}85^{t}$ beschrieben ($t$ in Stunden, $C$ in Milligramm pro Liter). Deuten Sie die Zahl $0{,}85$ im Sachzusammenhang. Unter $0{,}3$ mg pro Liter muss nachdosiert werden. Berechnen Sie, nach welcher Zeit das nötig ist. (4 BE)

Lösungen

1 · Zwei Parabeln

a) $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$: Nullstellen $x_1 = 1$ und $x_2 = 5$. Schnittpunkt mit der $y$-Achse $(0 \mid 5)$.

b) $f(x) = (x - 3)^2 - 4$, der Scheitelpunkt ist $S(3 \mid -4)$, die Parabel nach oben geöffnet: $W_f = \{y \mid y \in \mathbb{R};\ y \geq -4\}$.

c) Gleichsetzen: $x^2 - 6x + 5 = -x^2 + 8x - 15$ ergibt $2x^2 - 14x + 20 = 0$, also $x^2 - 7x + 10 = 0$ mit $x = 2$ und $x = 5$. Dazu $f(2) = -3$ und $f(5) = 0$: $A(2 \mid -3)$, $B(5 \mid 0)$. Anstieg $m = \frac{0 - (-3)}{5 - 2} = 1$, mit $B$: $0 = 5 + n$, $n = -5$. Die Gerade ist $y = x - 5$.

d) $c = -4$. Die Lösungen sind die Stellen, an denen der Graph von $f$ die waagerechte Gerade $y = c$ trifft. Genau ein gemeinsamer Punkt entsteht nur im Scheitelpunkt, dessen $y$-Wert $-4$ ist. Rechnerisch: $(x - 3)^2 = c + 4$ hat genau eine Lösung, wenn $c + 4 = 0$ ist.

Die beiden Parabeln und die Gerade durch A und B.

Bei c) nicht die Gleichung von $h$ falsch ausmultiplizieren: $-(x - 4)^2 + 1 = -(x^2 - 8x + 16) + 1 = -x^2 + 8x - 15$. Das Minuszeichen vor der Klammer gilt für alle drei Summanden.

2 · Grundstück und Urne

a) Kosinussatz: $c^2 = 40^2 + 55^2 - 2 \cdot 40 \cdot 55 \cdot \cos 72° \approx 3265{,}3$, also $\overline{AB} \approx 57{,}1$ m. Flächeninhalt: $A = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 55 \cdot \sin 72° \approx 1046\ \mathrm{m}^2$.

b) Gegenereignis „zweimal rot“: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$. Also $P = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} = 0{,}7$.

Bei a) liegt der gegebene Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten, deshalb ist der Kosinussatz der direkte Weg. Der Sinussatz braucht ein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel, und das fehlt hier.

3 · Im Freizeitbad

a) $0{,}35 \cdot 0{,}20 = 0{,}07$: $7\ \%$ aller Gäste, das sind $0{,}07 \cdot 240\,000 = 16\,800$ Kinder mit Jahreskarte.

b) Länge: $\sqrt{6{,}5^2 + 14^2} = \sqrt{238{,}25} \approx 15{,}4$ m. Winkel: $\tan\alpha = \frac{6{,}5}{14}$, $\alpha \approx 24{,}9°$. Das ist weniger als $30°$, die Rutsche hält die Vorschrift ein.

c) Der Längsschnitt ist ein Trapez mit dem Inhalt $\frac{1 + 3}{2} \cdot 25 = 50\ \mathrm{m}^2$. Mal Breite: $V = 50 \cdot 12 = 600\ \mathrm{m}^3$. Füllzeit: $\frac{600}{40} = 15$ Stunden.

d) Der Faktor $0{,}85$ bedeutet: Der Chlorgehalt nimmt jede Stunde um $15\ \%$ ab. $0{,}6 \cdot 0{,}85^t = 0{,}3$ ergibt $0{,}85^t = 0{,}5$ und $t = \frac{\lg 0{,}5}{\lg 0{,}85} \approx 4{,}3$. Nach gut vier Stunden muss nachdosiert werden.

Bei a) werden Anteile vom Anteil multipliziert, nicht addiert: $35\ \%$ plus $20\ \%$ wären $55\ \%$ und damit mehr als die Hälfte aller Gäste. Bei c) ist die mittlere Tiefe $2$ m, weil der Boden gleichmäßig abfällt; bei einem gekrümmten Boden ginge das so nicht.