BLF-Training: Daten und Zufall
Wie kommst du zur Schule?
AFB I · ReproduzierenIn einer Klasse mit $28$ Schülerinnen und Schülern wurde gefragt, wie sie normalerweise zur Schule kommen: $14$ mit dem Fahrrad, $7$ mit dem Bus, $5$ zu Fuß und $2$ mit dem Auto.
- Geben Sie die relativen Häufigkeiten der vier Antworten an.
- Die Ergebnisse sollen in einem Kreisdiagramm dargestellt werden. Berechnen Sie die Größen der vier Mittelpunktswinkel.
- Lena hat die relativen Häufigkeiten gerundet als $0{,}50$; $0{,}35$; $0{,}18$ und $0{,}07$ angegeben. Begründen Sie, dass mindestens einer ihrer Werte falsch ist.
- Mit dem Fahrrad brauchen die Befragten im Mittel $12$ Minuten, mit dem Bus $25$, zu Fuß $10$ und mit dem Auto $15$ Minuten. Geben Sie die Bedeutung des Terms $\frac{1}{28} \cdot (14 \cdot 12 + 7 \cdot 25 + 5 \cdot 10 + 2 \cdot 15)$ im Sachzusammenhang an und berechnen Sie seinen Wert.
Ziehen ohne Zurücklegen
AFB II · Zusammenhänge herstellenIn einem Beutel liegen fünf rote und drei blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, ohne die erste zurückzulegen.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln rot sind.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Kugeln verschiedene Farben haben.
- Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln an. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ an und berechnen Sie den Erwartungswert.
- Begründen Sie ohne Rechnung, dass „zweimal rot“ mit Zurücklegen wahrscheinlicher ist als ohne, und bestätigen Sie es rechnerisch.
Ist das Würfelspiel fair?
AFB III · Reflektieren und BeurteilenAuf einem Schulfest wird mit zwei Würfeln gespielt. Der Einsatz beträgt $1$ €. Bei einem Pasch (zwei gleiche Augenzahlen) werden $4$ € ausgezahlt, bei der Augensumme $7$ werden $2$ € ausgezahlt, sonst nichts. Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für einen Pasch und für die Augensumme $7$.
- Die Zufallsgröße $G$ gibt den Gewinn eines Spielers an (Auszahlung minus Einsatz). Geben Sie die Verteilung von $G$ an und untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist.
- Berechnen Sie die Standardabweichung von $G$.
- Die Klasse möchte im Mittel $0{,}20$ € pro Spiel einnehmen. Nur die Auszahlung für einen Pasch soll geändert werden. Berechnen Sie die neue Auszahlung.
Lösungen
1 · Wie kommst du zur Schule?
a) Fahrrad $\frac{14}{28} = \frac{1}{2} = 50\ \%$, Bus $\frac{7}{28} = \frac{1}{4} = 25\ \%$, zu Fuß $\frac{5}{28} \approx 17{,}9\ \%$, Auto $\frac{2}{28} = \frac{1}{14} \approx 7{,}1\ \%$.
b) Jeder Anteil mal $360°$: Fahrrad $180°$, Bus $90°$, zu Fuß $\frac{5}{28} \cdot 360° \approx 64{,}3°$, Auto $\frac{2}{28} \cdot 360° \approx 25{,}7°$. Probe: zusammen $360°$.
c) Die relativen Häufigkeiten aller möglichen Antworten müssen zusammen $1$ ergeben. Lenas Werte ergeben $0{,}50 + 0{,}35 + 0{,}18 + 0{,}07 = 1{,}10$. Das Runden erklärt das nicht: Vier auf zwei Stellen gerundete Werte weichen zusammen um weniger als $4 \cdot 0{,}005 = 0{,}02$ von $1$ ab. Der Fehler steckt beim Bus: $\frac{7}{28} = 0{,}25$ und nicht $0{,}35$.
d) Der Term ist das arithmetische Mittel der Schulwegzeiten der ganzen Klasse: Jede Gruppenzeit wird mit der Anzahl der Personen gewichtet und durch alle $28$ geteilt. $\frac{168 + 175 + 50 + 30}{28} = \frac{423}{28} \approx 15{,}1$ Minuten.
Bei d) ist $\frac{12 + 25 + 10 + 15}{4} = 15{,}5$ nicht dasselbe: Dieses ungewichtete Mittel tut so, als säßen im Auto genauso viele wie auf dem Fahrrad.
2 · Ziehen ohne Zurücklegen
a) Erster Zug rot mit $\frac{5}{8}$; danach sind noch vier rote unter sieben Kugeln: $P = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357$.
b) Zwei Pfade, rot–blau und blau–rot: $P = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} + \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0{,}536$.
c) $P(X = 0) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{28}$, $P(X = 1) = \frac{15}{28}$, $P(X = 2) = \frac{10}{28}$. Probe: $\frac{3 + 15 + 10}{28} = 1$. Erwartungswert: $E(X) = 0 \cdot \frac{3}{28} + 1 \cdot \frac{15}{28} + 2 \cdot \frac{10}{28} = \frac{35}{28} = 1{,}25$.
d) Ohne Zurücklegen fehlt beim zweiten Zug eine rote Kugel, der Anteil der roten sinkt von $\frac{5}{8}$ auf $\frac{4}{7}$. Mit Zurücklegen bleibt er bei $\frac{5}{8}$. Rechnung: $\left(\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64} \approx 0{,}391 > 0{,}357$.
Der Erwartungswert ist in beiden Fällen gleich, nämlich $2 \cdot \frac{5}{8} = 1{,}25$. Das Zurücklegen ändert die Verteilung, nicht den Mittelwert.
3 · Ist das Würfelspiel fair?
a) Von den $36$ gleich wahrscheinlichen Ergebnissen sind $6$ Paschs und $6$ haben die Summe $7$ (siehe Tabelle): je $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Beide Ereignisse schließen sich aus, denn ein Pasch hat immer eine gerade Summe.
b) $G$ nimmt die Werte $3$ € (Pasch), $1$ € (Summe $7$) und $-1$ € (sonst) an, mit den Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$ und $\frac{2}{3}$. $E(G) = 3 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 + 1 - 4}{6} = 0$. Das Spiel ist fair.
c) $V(G) = (3 - 0)^2 \cdot \frac{1}{6} + (1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{6} + (-1 - 0)^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 + 1 + 4}{6} = \frac{7}{3}$, also $\sigma = \sqrt{\frac{7}{3}} \approx 1{,}53$ €. Einzelne Spiele weichen also deutlich vom Mittelwert null ab, obwohl das Spiel fair ist.
d) Die mittlere Auszahlung muss $1 - 0{,}20 = 0{,}80$ € betragen: $x \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} = 0{,}80$ ergibt $x + 2 = 4{,}80$, also $x = 2{,}80$ €. Probe: $E(G) = \frac{1{,}80 + 1 - 4}{6} = -0{,}20$ € für den Spieler.
Gewinn und Auszahlung sind nicht dasselbe. Wer bei b) mit den Auszahlungen $4$ und $2$ rechnet und den Einsatz vergisst, erhält $E = 1$ und hält das Spiel für ein Geschenk an die Spieler.