Doc Alvers Mathe-Labor

BLF-Training: Teil A — ohne Hilfsmittel (Satz 1)

Gymnasium · Klasse 10 · Besondere Leistungsfeststellung Mathematik · Teil A · 25 Minuten, nur Zeichengeräte · drei Aufgaben, Anforderungsbereiche I bis III

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Viermal ankreuzen

AFB I · Reproduzieren

Bei jeder Teilaufgabe ist genau eine der fünf Antworten richtig. Notieren Sie nur den Buchstaben; ein Lösungsweg wird nicht verlangt. Taschenrechner und Formelsammlung sind nicht zugelassen.

Der Term $\dfrac{a^{5} \cdot a^{-2}}{a^{4}}$ mit $a \neq 0$ ist äquivalent zu: • (A) $a^{3}$ • (B) $\frac{1}{a}$ • (C) $a$ • (D) $a^{-14}$ • (E) $\frac{1}{a^{3}}$
Ein Volumen von $0{,}35\ \mathrm{m}^3$ sind: • (A) $35\ \mathrm{dm}^3$ • (B) $3500\ \mathrm{cm}^3$ • (C) $350\ \ell$ • (D) $35\ \mathrm{hl}$ • (E) $0{,}35\ \ell$
Ein Preis wird zuerst um $10\ \%$ erhöht und danach um $10\ \%$ gesenkt. Verglichen mit dem ursprünglichen Preis gilt dann: • (A) Er ist gleich geblieben. • (B) Er ist um $1\ \%$ gesunken. • (C) Er ist um $1\ \%$ gestiegen. • (D) Er ist um $0{,}1\ \%$ gesunken. • (E) Er ist um $10\ \%$ gesunken.
Welche in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ hat einen Graphen, der die $y$-Achse im Punkt $(0 \mid 3)$ schneidet und im gesamten Definitionsbereich monoton fallend ist? • (A) $f(x) = 3x$ • (B) $f(x) = -x + 3$ • (C) $f(x) = x^2 + 3$ • (D) $f(x) = 3 \cdot 2^{x}$ • (E) $f(x) = -3x$

Eine Gerade und ihr Kegel

AFB II · Zusammenhänge herstellen

Die Abbildung zeigt den Graphen der linearen Funktion $g$, der durch die Punkte $P(-2 \mid 5)$ und $Q(4 \mid 2)$ verläuft. Die Aufgabe ist ohne Taschenrechner zu lösen; Wurzeln und $\pi$ dürfen im Ergebnis stehen bleiben.

Der Graph von g mit den Punkten P und Q. Das Dreieck zwischen g und den Achsen ist orange hinterlegt.

Geben Sie eine Gleichung der Funktion $g$ an.
Berechnen Sie die Stelle, an der $g$ den Funktionswert $-46$ annimmt.
Der Graph von $g$ und die beiden Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Berechnen Sie die Länge der Seite dieses Dreiecks, die auf dem Graphen von $g$ liegt.
Das Dreieck rotiert um die $y$-Achse. Begründen Sie ohne Taschenrechner, dass das Volumen des entstehenden Körpers größer als $250$ Volumeneinheiten ist.

Das Glücksrad mit drei Farben

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Ein Glücksrad besteht aus drei Sektoren: Der rote hat einen Mittelpunktswinkel von $180°$, der blaue von $120°$ und der gelbe von $60°$. Ein Zufallsversuch besteht aus dem Drehen des Rades und dem Feststellen der Farbe, auf die der Zeiger zeigt.

Das Glücksrad. Der Zeiger steht oben fest, das Rad dreht sich.

Begründen Sie, dass das einmalige Drehen kein Laplace-Versuch ist.
Das Rad wird zweimal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Male dieselbe Farbe erscheint.
Das Rad wird dreimal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal Gelb erscheint.
Das Rad wird dreimal gedreht. Geben Sie ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2}$ berechnet werden kann.

Lösungen

1 · Viermal ankreuzen

a) Richtig ist (B). Im Zähler werden die Exponenten addiert: $a^{5} \cdot a^{-2} = a^{3}$. Beim Dividieren wird subtrahiert: $a^{3} : a^{4} = a^{-1} = \frac{1}{a}$. (A) ist nur der Zähler, (D) entsteht, wenn man $5 \cdot (-2)$ rechnet statt $5 + (-2)$, und (C) und (E) haben das Vorzeichen beziehungsweise die Größe des Exponenten verloren. Probe mit $a = 2$: $\frac{32 \cdot \frac{1}{4}}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

b) Richtig ist (C). Ein Kubikmeter hat $1000$ Kubikdezimeter, und ein Kubikdezimeter ist ein Liter. Also $0{,}35\ \mathrm{m}^3 = 350\ \mathrm{dm}^3 = 350\ \ell$. (A) rechnet mit dem Faktor $100$ wie bei Flächen, (B) ist nur $3{,}5\ \ell$, (D) sind $3500\ \ell$ und (E) ist tausendmal zu klein. Mit Hektolitern wäre $3{,}5\ \mathrm{hl}$ richtig gewesen.

c) Richtig ist (B). Beide Änderungen sind Faktoren: $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$. Der Endpreis ist $99\ \%$ des Anfangspreises, also um $1\ \%$ niedriger. Die $10\ \%$ Abschlag beziehen sich auf den erhöhten Preis und sind deshalb mehr als der Aufschlag. Beispiel: 100 € → 110 € → 99 €.

d) Richtig ist (B). Der Graph von $f(x) = -x + 3$ ist eine Gerade mit dem Anstieg $-1$ (fallend) und dem $y$-Achsenabschnitt $3$. (D) schneidet die $y$-Achse zwar auch bei $3$, denn $3 \cdot 2^{0} = 3$, ist aber monoton steigend. (C) hat bei $(0 \mid 3)$ seinen Scheitel und fällt nur für $x < 0$. (A) und (E) gehen durch den Ursprung.

Bei c) ist die Versuchung groß, $+10\ \%$ und $-10\ \%$ zu null zu addieren. Prozentsätze beziehen sich aber immer auf den jeweils aktuellen Grundwert, deshalb werden sie als Faktoren multipliziert, nicht addiert.

2 · Eine Gerade und ihr Kegel

a) Anstieg aus den beiden Punkten: $m = \frac{2 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$. Einsetzen von $Q$ in $y = -\frac{1}{2}x + n$: $2 = -2 + n$, also $n = 4$. Damit ist $g(x) = -\frac{1}{2}x + 4$. Probe mit $P$: $-\frac{1}{2} \cdot (-2) + 4 = 1 + 4 = 5$.

b) $-\frac{1}{2}x + 4 = -46$ ergibt $-\frac{1}{2}x = -50$ und damit $x = 100$. An der Stelle $100$ hat $g$ den Funktionswert $-46$.

c) Die Gerade schneidet die $y$-Achse bei $(0 \mid 4)$, die $x$-Achse dort, wo $-\frac{1}{2}x + 4 = 0$ ist, also bei $(8 \mid 0)$. Die gesuchte Seite ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $8$ und $4$: $\sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$. Wegen $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ sind das etwa $9$ Längeneinheiten.

d) Bei der Drehung um die $y$-Achse entsteht ein Kegel mit dem Radius $r = 8$ (Abschnitt auf der $x$-Achse) und der Höhe $h = 4$. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 64 \cdot 4 = \frac{256}{3}\pi$. Wegen $\pi > 3$ gilt $V > \frac{256}{3} \cdot 3 = 256 > 250$. Das Volumen ist also größer als $250$ Volumeneinheiten.

Zu d): Die Kathete auf der x-Achse wird zum Radius, die auf der y-Achse zur Höhe des Kegels.

Bei d) kommt es auf die Drehachse an. Um die $y$-Achse wird die $8$ zum Radius; um die $x$-Achse wäre es umgekehrt, Radius $4$ und Höhe $8$, mit nur $\frac{128}{3}\pi$. Und für die Begründung genügt die grobe Abschätzung $\pi > 3$, gerechnet werden muss $\pi$ gar nicht.

3 · Das Glücksrad mit drei Farben

a) Bei einem Laplace-Versuch sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Hier sind die Sektoren verschieden groß: $P(\text{rot}) = \frac{180}{360} = \frac{1}{2}$, $P(\text{blau}) = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ und $P(\text{gelb}) = \frac{60}{360} = \frac{1}{6}$. Die drei Farben sind also nicht gleich wahrscheinlich.

b) Dreimal ein Pfad mit zwei gleichen Farben: $P = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{9}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$. Das sind knapp $39\ \%$.

c) Über das Gegenereignis „keinmal Gelb“: $P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$. Das sind etwa $42\ \%$. Ohne Rechner genügt der Bruch.

d) $\frac{1}{3}$ ist die Wahrscheinlichkeit für Blau, $\frac{2}{3}$ die für „nicht Blau“. Ein Pfad mit einmal Blau und zweimal etwas anderem hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2$, und es gibt drei solche Pfade, je nachdem, bei welcher Drehung Blau kommt. Das Ereignis heißt also: „Bei drei Drehungen erscheint genau einmal Blau.“

Bei c) hilft das Gegenereignis. Wer „mindestens einmal“ direkt rechnet, muss die Fälle einmal, zweimal und dreimal Gelb einzeln addieren und vergisst leicht einen Pfad. Und bei d) gehört der Faktor $3$ zu „genau einmal“, nicht zu „mindestens einmal“.