Doc Alvers Mathe-Labor

BLF-Training: Teil A — ohne Hilfsmittel (Satz 2)

Gymnasium · Klasse 10 · Besondere Leistungsfeststellung Mathematik · Teil A · 25 Minuten, nur Zeichengeräte · drei Aufgaben, Anforderungsbereiche I bis III

Zur Übersicht

Noch viermal ankreuzen

AFB I · Reproduzieren

Bei jeder Teilaufgabe ist genau eine der fünf Antworten richtig. Notieren Sie nur den Buchstaben. Die Abbildung gehört zu Teilaufgabe a).

Zu a): Das Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C.

Welche Aussage über das abgebildete Dreieck $ABC$ ist falsch? • (A) $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ • (B) $\cos\alpha = \frac{b}{c}$ • (C) $\tan\alpha = \frac{a}{b}$ • (D) $\sin\beta = \frac{a}{c}$ • (E) $a^2 + b^2 = c^2$
Für die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2 \cdot \sin x + 1$ gilt: • (A) Der Wertebereich ist $-1 \leq y \leq 3$. • (B) Die kleinste Periode ist $\pi$. • (C) Der Graph ist symmetrisch zur $y$-Achse. • (D) $f(0) = 2$ • (E) $x = 0$ ist eine Nullstelle von $f$.
Das Gleichungssystem $2x + y = 7$ und $x - y = -1$ hat die Lösung: • (A) $x = 3;\ y = 1$ • (B) $x = 2;\ y = 3$ • (C) $x = 1;\ y = 5$ • (D) $x = 3;\ y = 4$ • (E) $x = -2;\ y = -1$
Ein Fahrradschloss hat drei Stellräder mit je den Ziffern $0$ bis $9$. Wie viele verschiedene Einstellungen gibt es? • (A) $30$ • (B) $100$ • (C) $720$ • (D) $1000$ • (E) $59\,049$

Kreis, Sektor und Thales

AFB II · Zusammenhänge herstellen

In einem Koordinatensystem liegt ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ im Koordinatenursprung. Er verläuft durch den Punkt $P(3 \mid 4)$. Rechnen Sie ohne Taschenrechner; $\pi$ und Wurzeln dürfen im Ergebnis stehen bleiben.

Der Kreis mit P und Q. Der Sektor zwischen MP und MQ ist orange hinterlegt.

Geben Sie den Radius des Kreises an.
Zeigen Sie, dass auch $Q(-4 \mid 3)$ auf dem Kreis liegt und dass die Strecken $\overline{MP}$ und $\overline{MQ}$ senkrecht aufeinander stehen.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Kreissektors zwischen $\overline{MP}$ und $\overline{MQ}$ und die Länge des zugehörigen Kreisbogens.
Ein dritter Punkt $R$ liegt so auf dem Kreis, dass $\angle PQR = 90°$ ist. Geben Sie die Länge der Strecke $\overline{PR}$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

Gleichungen ohne Rechner

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Die vier Teilaufgaben sind unabhängig voneinander und ohne Hilfsmittel zu lösen.

Zu c): Das Rechteck mit seiner Diagonalen.

Das Volumen eines Kegels ist $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Stellen Sie die Formel nach $h$ um.
Bestimmen Sie $p$ so, dass $x = -2$ eine Lösung der Gleichung $x^2 + p \cdot x - 10 = 0$ ist, und geben Sie die zweite Lösung an.
Ein Rechteck hat den Umfang $34$ cm, seine Diagonale ist $13$ cm lang. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks.
Geben Sie alle Werte von $c$ an, für die die Gleichung $x^2 - 6x + c = 0$ keine reelle Lösung hat. Begründen Sie Ihre Angabe.

Lösungen

1 · Noch viermal ankreuzen

a) Falsch ist (D). Für $\beta$ ist $b$ die Gegenkathete, also $\sin\beta = \frac{b}{c}$. Der Bruch $\frac{a}{c}$ gehört zu $\cos\beta$. (A) bis (C) sind richtig: $a$ liegt $\alpha$ gegenüber, $b$ liegt an $\alpha$ an, $c$ ist die Hypotenuse. (E) ist der Satz des Pythagoras mit dem rechten Winkel bei $C$.

b) Richtig ist (A). $\sin x$ läuft zwischen $-1$ und $1$; verdoppelt sind das $-2$ bis $2$, um $1$ nach oben verschoben $-1$ bis $3$. (B) Die Periode bleibt $2\pi$, denn vor dem $x$ steht kein Faktor. (C) Der Graph ist nicht achsensymmetrisch, denn $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3$, aber $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$. (D) und (E) scheitern an $f(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$.

c) Richtig ist (B). Addiert man beide Gleichungen, fällt $y$ weg: $3x = 6$, also $x = 2$ und $y = 7 - 4 = 3$. Probe: $2 - 3 = -1$. Die anderen vier Paare erfüllen jeweils nur eine der beiden Gleichungen, (A) und (C) die erste, (D) und (E) die zweite. Eine Probe muss deshalb immer beide Gleichungen prüfen.

d) Richtig ist (D). Jedes Rad hat unabhängig von den anderen $10$ Möglichkeiten, und Ziffern dürfen sich wiederholen: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Das sind genau die Zahlen von $000$ bis $999$. (C) $= 10 \cdot 9 \cdot 8$ verbietet Wiederholungen, (A) addiert statt zu multiplizieren, und (E) $= 3^{10}$ vertauscht Basis und Exponent.

Bei a) hilft es, jedes Mal vom Winkel aus zu fragen: Welche Seite liegt gegenüber, welche anliegend? Wer sich „$a$ steht immer oben“ merkt, liegt bei $\beta$ falsch.

2 · Kreis, Sektor und Thales

a) Der Radius ist der Abstand von $M(0 \mid 0)$ zu $P$: $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

b) $(-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = r^2$, also hat $Q$ ebenfalls den Abstand $5$ von $M$ und liegt auf dem Kreis. Die Gerade $MP$ hat den Anstieg $\frac{4}{3}$, die Gerade $MQ$ den Anstieg $\frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$. Das Produkt ist $\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$, die beiden Strecken stehen also senkrecht aufeinander.

c) Der Mittelpunktswinkel beträgt $90°$, der Sektor ist ein Viertelkreis. $A = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{25}{4}\pi$ und $b = \frac{1}{4} \cdot 2\pi r = \frac{5}{2}\pi$. Das sind etwa $19{,}6$ Flächeneinheiten und $7{,}9$ Längeneinheiten.

d) $\overline{PR} = 10$. Nach der Umkehrung des Satzes des Thales liegt ein rechter Winkel $\angle PQR$ genau dann vor, wenn $\overline{PR}$ ein Durchmesser des Kreises ist. Also ist $\overline{PR} = 2r = 10$ und $R$ der Punkt $(-3 \mid -4)$ gegenüber von $P$.

Zu d): R liegt P genau gegenüber. Das Dreieck PQR hat bei Q einen rechten Winkel.

Bei d) muss man nichts ausrechnen, wenn man Thales erkennt: Der rechte Winkel liegt bei $Q$, also ist die Seite gegenüber von $Q$ der Durchmesser.

3 · Gleichungen ohne Rechner

a) Mit $3$ multiplizieren und durch $\pi r^2$ teilen: $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$.

b) Einsetzen: $(-2)^2 + p \cdot (-2) - 10 = 0$, also $4 - 2p - 10 = 0$ und $p = -3$. Die Gleichung lautet dann $x^2 - 3x - 10 = 0$, zerlegt $(x + 2)(x - 5) = 0$. Die zweite Lösung ist $x = 5$. Nach Vieta passt das: $-2 \cdot 5 = -10$ und $-2 + 5 = 3 = -p$.

c) Aus dem Umfang folgt $a + b = 17$, aus dem Pythagoras $a^2 + b^2 = 169$. Quadriert man die erste Gleichung, erhält man $a^2 + 2ab + b^2 = 289$. Zieht man die zweite ab, bleibt $2ab = 120$, also $A = ab = 60\ \mathrm{cm}^2$. Die Seiten selbst braucht man dafür nicht; es sind $12$ cm und $5$ cm.

d) Quadratisch ergänzen: $x^2 - 6x + c = (x - 3)^2 - 9 + c$. Die Gleichung $(x - 3)^2 = 9 - c$ hat keine Lösung, wenn die rechte Seite negativ ist, denn ein Quadrat ist nie negativ. Also für alle $c > 9$. Bei $c = 9$ gibt es genau eine Lösung ($x = 3$), bei $c < 9$ zwei.

Bei c) ist der Umweg über die einzelnen Seiten möglich, aber länger: Man müsste eine quadratische Gleichung lösen. Der Trick mit $(a + b)^2$ liefert das Produkt $ab$ direkt, und nach dem ist gefragt.