Doc Alvers Mathe-Labor

BLF-Training: Wachstum und periodische Vorgänge

Gymnasium · Klasse 10 · Besondere Leistungsfeststellung Mathematik · Teil B, mit MMS und Formelsammlung · drei Aufgaben, Anforderungsbereiche I bis III

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Der Algenteppich

AFB I · Reproduzieren

Auf einem Teich wächst ein Algenteppich. Seine Fläche wird näherungsweise durch $A(t) = 4 \cdot 1{,}35^{t}$ beschrieben, $t$ in Wochen nach Beobachtungsbeginn, $A(t)$ in Quadratmetern.

Geben Sie die Fläche zu Beobachtungsbeginn und das wöchentliche Wachstum in Prozent an.
Berechnen Sie die Fläche nach sechs Wochen.
Berechnen Sie, nach wie vielen Wochen der Teppich $100\ \mathrm{m}^2$ bedeckt.
Berechnen Sie die Verdopplungszeit und zeigen Sie, dass sie nicht von der Anfangsfläche abhängt.

Das Riesenrad

AFB II · Zusammenhänge herstellen

Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von $36$ m, seine Achse liegt $20$ m über dem Boden. Für eine Umdrehung braucht es $12$ Minuten. Eine Gondel startet ganz unten am Einstieg. Ihre Höhe über dem Boden wird durch $h(t) = 20 - 18 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot t\right)$ beschrieben, $t$ in Minuten, $h(t)$ in Metern.

Das Riesenrad mit 24 Gondeln. Die rote Gondel startet am Einstieg.

Geben Sie die kleinste und die größte Höhe der Gondel sowie die kleinste Periode von $h$ an.
Berechnen Sie die Höhe der Gondel zwei Minuten nach dem Start.
Ermitteln Sie, wie lange sich die Gondel während einer Umdrehung höher als $29$ m über dem Boden befindet.
Am Rad sind $24$ Gondeln in gleichen Abständen befestigt. Berechnen Sie die Länge des Kreisbogens zwischen zwei benachbarten Gondeln und die Zeit, bis nach einer Gondel die nächste den Einstieg erreicht.

Der Tee kühlt ab

AFB III · Reflektieren und Beurteilen

Frisch aufgebrühter Tee kühlt in einem Raum ab. Seine Temperatur wird durch $T(t) = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}08 \cdot t}$ beschrieben, $t$ in Minuten, $T(t)$ in Grad Celsius.

Die Abkühlkurve und die Raumtemperatur (gestrichelt).

Geben Sie die Anfangstemperatur an und deuten Sie die Zahl $20$ im Sachzusammenhang.
Der Tee ist trinkbar, sobald er höchstens $60\ °\mathrm{C}$ warm ist. Berechnen Sie, wie lange man warten muss.
Berechnen Sie die mittlere Abkühlung pro Minute in den ersten fünf Minuten und in den fünf Minuten danach. Deuten Sie den Unterschied.
Zeigen Sie, dass sich der Unterschied zwischen Tee- und Raumtemperatur in gleichen Zeitabständen immer um denselben Prozentsatz verringert, und geben Sie diesen Prozentsatz pro Minute an.

Lösungen

1 · Der Algenteppich

a) $A(0) = 4$: Zu Beginn sind es $4\ \mathrm{m}^2$. Der Faktor $1{,}35$ bedeutet ein Wachstum um $35\ \%$ pro Woche.

b) $A(6) = 4 \cdot 1{,}35^6 \approx 4 \cdot 6{,}05 \approx 24{,}2\ \mathrm{m}^2$.

c) $4 \cdot 1{,}35^t = 100$ ergibt $1{,}35^t = 25$, also $t = \log_{1{,}35} 25 = \frac{\lg 25}{\lg 1{,}35} \approx 10{,}7$. Im Laufe der elften Woche sind $100\ \mathrm{m}^2$ bedeckt.

d) Aus $A_0 \cdot 1{,}35^{t} = 2 \cdot A_0$ kürzt sich $A_0$ heraus: $1{,}35^{t} = 2$, also $t = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}35} \approx 2{,}3$ Wochen. Die Anfangsfläche kommt in der Gleichung nicht mehr vor, deshalb ist die Verdopplungszeit für jeden Startwert dieselbe.

$35\ \%$ Wachstum heißt Faktor $1{,}35$, nicht $0{,}35$. Und beim Logarithmus gehört der Faktor $4$ vorher auf die andere Seite: $\lg(4 \cdot 1{,}35^t)$ ist nicht $t \cdot \lg 5{,}4$.

2 · Das Riesenrad

a) Der Kosinus liegt zwischen $-1$ und $1$: kleinste Höhe $20 - 18 = 2$ m (am Einstieg), größte $20 + 18 = 38$ m. Die Periode ist $p = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ Minuten, eine Umdrehung.

b) $h(2) = 20 - 18 \cdot \cos\frac{\pi}{3} = 20 - 18 \cdot 0{,}5 = 11$ m.

c) $20 - 18 \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 29$ ergibt $\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = -\frac{1}{2}$ mit den Lösungen $t = 4$ und $t = 8$ in der ersten Umdrehung. Dazwischen liegt die Gondel höher: $8 - 4 = 4$ Minuten, also ein Drittel der Fahrt.

d) Umfang $u = \pi \cdot 36 \approx 113{,}1$ m, geteilt durch $24$: $b = \frac{36\pi}{24} = 1{,}5\pi \approx 4{,}71$ m. Für eine Umdrehung braucht das Rad $12$ Minuten, für ein Vierundzwanzigstel davon $\frac{12}{24} = 0{,}5$ Minuten, also $30$ Sekunden.

Zu c): Oberhalb der grünen Linie ist die Gondel höher als 29 m, von der vierten bis zur achten Minute.

Bei c) liefert der Rechner für $\cos x = -\frac{1}{2}$ nur einen Wert. Den zweiten findet man über die Symmetrie der Kurve zur Stelle $t = 6$ (ganz oben): $6 - 2 = 4$ und $6 + 2 = 8$. Der Graph zeigt es sofort.

3 · Der Tee kühlt ab

a) $T(0) = 20 + 70 = 90\ °\mathrm{C}$. Für große $t$ geht $e^{-0{,}08t}$ gegen $0$ und $T(t)$ gegen $20$: Das ist die Raumtemperatur, auf die der Tee zuläuft, ohne sie je ganz zu erreichen.

b) $20 + 70 e^{-0{,}08t} = 60$ ergibt $e^{-0{,}08t} = \frac{4}{7}$, also $t = \frac{\ln\frac{7}{4}}{0{,}08} \approx 7{,}0$. Nach etwa sieben Minuten ist der Tee trinkbar.

c) $T(5) \approx 66{,}9\ °\mathrm{C}$ und $T(10) \approx 51{,}5\ °\mathrm{C}$. In den ersten fünf Minuten: $\frac{90 - 66{,}9}{5} \approx 4{,}6$ Grad pro Minute; danach: $\frac{66{,}9 - 51{,}5}{5} \approx 3{,}1$ Grad pro Minute. Der Tee kühlt am Anfang schneller ab, weil der Unterschied zur Umgebung dann am größten ist. Die Abnahme ist also nicht linear.

d) Der Unterschied ist $T(t) - 20 = 70 \cdot e^{-0{,}08t} = 70 \cdot \left(e^{-0{,}08}\right)^t$. In jeder Minute wird er mit demselben Faktor $e^{-0{,}08} \approx 0{,}923$ multipliziert, er sinkt also jede Minute um etwa $7{,}7\ \%$. Nach rund $8{,}7$ Minuten ist er jeweils halbiert.

Exponentiell sinkt hier nicht die Temperatur selbst, sondern ihr Abstand zur Raumtemperatur. Wer $T(t)$ direkt mit einem Faktor pro Minute beschreibt, landet irgendwann bei $0\ °\mathrm{C}$, und das passiert mit Tee in einem warmen Zimmer nicht.